剑指offer(43)：详解1 ~n 整数中 1 出现的次数

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本博客主要内容为图书《剑指offer》43 题的解题思路及代码。方法可能还有不足之处，欢迎大家讨论评论。

1. 题目描述

  输入一个整数 n ，求出 1~n 这 n 个整数的十进制表示中 1 出现的次数。例如输入 12，1 ~ 12 这些整数中包含 1 的数字有 1 ，10，11，12，“1 ”一种出现了 5 次。（注意其中 11 中 1 出现了两次）

2. 解题思路

2.1 最高位为 1 的情况

  对于某一个数字，如 1234 ，考虑 1~1234 中 1 一共出现了多少次的时候，可以进行如下分解：

$$1:1234=1:999+1000:1234$$
这个时候只需要分 1 : 999 和 1000 : 1234 两步进行考虑就行。

  对于第一部分，我们可以观察到一个比较强的规律。当数字是一位数的时候，数字的长度 $length = 1$，也就是说 1~9 只包含 1 个 1，即

$$f(length=1)=1$$
当数字是二位数的时候，数字的长度 $length = 2$，我们可以将 1~99在分解为三个部分，即
$$1:99=1:9+10:19+20：99$$
其中 1~9 的结果为 $f(length)=1$， 10~19 一共有十个数（二十个数字），其中十位都是1 ，有 10 个1；剩下 10个个位的情况是 0~9 中有多少个 1 ，这个情况与 1~9 的结果是相同的；20~99有 $(9-2+1)$个1，即
$$f(length=2)=1+(10+1)+(9-2+1)$$
通过进行归纳可以得到下面的通式
$$f(length)=10^{n-1}+10f(length-1)$$
其中的 length 是对应数字的长度。

  对于第二部分，即 $1000:1234$ ，其中最高位重复了 $1234-1000+1$ 次，即$n - 10^{length-1} + 1$，然后考虑除了最高位剩下位(0~234)中 1 出现的次数，即计算$g(n - 10^{length-1})$。

  所以数字最高位为 1 的情况的计算表达式如下：

$$g(n)=f(length-1)+（n - 10^{length-1} + 1）+g(n - 10^{length-1})$$
其中的 $f(length)=10^{n-1}+10f(length-1)$，n 是输入的数字，length 是输入数字的长度。

2.2 最高位>1 的情况

  对于某一个数字，如 4234 ，考虑 1~4234 中 1 一共出现了多少次的时候，可以分解如下的四个部分：

$$1:4234=1:999+1000:1999+2000:3999+4000:4234$$
其中 1:999 可以通过 $f$ 计算得到；1000:1999 中最高位出现的次数为 $10^{length-1}$，而剩下的位数出现 1 的总次数为 $f(length-1)$；2000:3999中最高位不会出现 1 ，剩下的位出现 1 的问题又变成了 1:999，即 $(3-2+1)f(length-1)$，最后剩下 4000:4234 ，而这个问题等价为 0:234 中有多少个 1 的问题，可以通过 $g(n-a*10^{length-1})$ 来解决。所以此时的通式为
$$g(n)=10^{length-1} +a* f(length-1)+g(n - a*10^{length-1})$$
其中的 a 是最高位的数字

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2.3 情况总结

  所以计算这个问题的递推公式如下：

$$g(n) = \begin{cases} f(length-1)+（n - 10^{length-1} + 1）+g(n - 10^{length-1}), & \text{if 最高位为1} \\ 10^{length-1} +a* f(length-1)+g(n - a*10^{length-1}), & \text{if 最高位非1} \end{cases}$$
其中
$$f(length)=10^{n-1}+10f(length-1)$$

所以总体的思想就是，根据输入数字的最高位对情况进行分类，之后带入上面的递推公式，进行递归操作。递归的停止条件为剩下的数字的长度为 1，如果剩下的数字是0返回0，否则返回1.

3. 代码实现

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # 如果数字为 0 则返回 0
        if not n:
            return 0

        # 将数字转化为字符串，得到数字的长度
        strN = str(n)
        length = len(strN)

        # 通过 f 函数计算递推通式中的 f (length -1)
        mydicdictionary = self.dictionary(length-1)

        #如果长度为 1 且不为 0 话就返回 1 
        if length == 1:
            return 1

        # 求出当前数字的最高位数字
        temp = 10**(length-1)
        a = n//temp

        # 根据判断结果执行递推公式
        if n-temp >= temp:
            return temp + a*mydicdictionary + self.NumberOf1Between1AndN_Solution( n-a*temp)
        else:
            return mydicdictionary + n-temp + 1 +self.NumberOf1Between1AndN_Solution( n-temp)

    def dictionary(self,length):
        mydicdictionary = [0]
        for i in range(1 , length+1):
            result = 10**(i-1) + 10*mydicdictionary[i-1]
            mydicdictionary.append(result)
        return mydicdictionary.pop()