福州Day7之动态规划类型及其优化方式
1）动态规划
动态规划是运筹学的一种分支。
序列dp
在给定的序列上进行dp，并不只是一维。
两种编号状态：
1强制用到i
2不一定用到i
【最长上升子序列】
不一定要连续的串，但是要严格递增
f[i]指直到当前的最长上升子序列。
双重循环的时间为O（n2），只能做到一千左右。
优化：
需要满足：
1F[i]尽量大
2a[i]>a[j]
所以不能用线段树（线段树只能满足一个条件）。
F[i]表示长度为i的上升子序列的最小末位数字。选取末位数尽量小的数的方案更优。后面所可选取的数据范围越大（即所能选取数字的最小值越小）。所以只要查找到a[i]的时候，判断包括a[i]所能构成的长度为j在最长上升子序列，判断a[i]是否小于f[j]如果小于，则放入f[j]中，否则不做改变。改变f[j]不会对原记录数列进行影响。
【最长公共字串】
用f[i][j]表示匹配到A的第i位，B的第j位得到的最长公共子序列。
推出公式：
Ff[i-1][j-1]+1 (A[i]=B[j])
Max([i][j-1],f[i-1][j]) (A[i]<>B[j])
如果有更多的序列，对应增大维数即可。
背包问题
【0|1背包问题】
转移方程：
f[i][j]表示前i件物品空间为j的放入所能得的最大价值。
转移公式：
1.取第i件物品
2.不取第i件物品
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i]])
优化（二维转一维）
我们可以把i省略掉。
我们先思考从前往后取。从前往后，件数会不断累加。数据的件数不在是0|1而改为了无限的件数。所以这种方案是不可行的。
我们还可以从后往前取。从后往前后改变后面的数，前面的数不会影响，所以正解。
【完全背包问题】
完全背包即物品件数是无限的。
。每件物品的件数是无限件的，说明每件物品我们都可以重复取。我们在回顾0|1背包问题，发现我们在0|1背包中所思考的从前往后的方法正好符合了这一条件（物品件数无限）。
{这辆道题在以前的博客已经详细分析过}
【多重背包】
I件物品的件数是i件。
我们可以在多建一维储存件数。
但是我们又遇到了和0|1一样的问题。如果n过大会超时。
所以我们考虑二进制思想，把第i种物品换成若干件物品，进而转换为0|1问题。
我们可以用1(1),2(10),4(100),8(1000)合成其他的数（2n的数最高位是1）。说明在二进制的角度上来讲，我们用这2n来拆分所得次数最少。我们就可以按照2的次方进行拆分计算。
【混合三种背包】
我们先将0|1背包和多重背包合在一起（都有指定的件数）。
如果是0|1背包（多重背包），我们就倒序；如果是完全背包，我们就正序。
【例题——贝茜的奶酪塔】
我们先做一次没有大于k的进行一次0|1背包，再选择一个大于k的。将先前所有的变为4/5，再进行做0|1背包。
区间dp
（重点讲在二维的区间dp）
1. 序列：在[l,r]上寻找分割点在哪里，将左右的最优解化为自己的最优解。
2. 环：在结尾再复制一遍化作序列。
【乘法游戏】
F[i][j]表示区间i，j上的最优解。
公式：
f[i][j]=min{f[i][j],f[i][k]+f[k][j]+a[i]*a[k]*a[j]}(i<k<j)
k指当前的分割点。
第一层循环枚举区间长度（1~n），第二重循环枚举起始点，有了起始点，我们自然而然可以知道j，然后我们再循环k，这样我们可以保证每次都是从小到大。
状压dp
我们将状态去简化。再用运算加速dp
数据特殊性：数据比较小（例如，10）。
状态：
1选当前数字
2不选当前数字
更多地用在矩阵中。
2）常见的优化方式
1. 减少状态总数
跳过无用状态
变量相互制约
2. 减少状态转移数
预处理/前缀和
部分和优化
四边形不等式
决策单调性
数据结构优化
3. 内存优化
滚动数组
减少状态总数
预处理/前缀和优化：【最大子段和】
公式：
f[r]=max(f[r-1],0)+a[r]
拓展1【环状最长子段和】
转化为序列（在后面复制黏贴一段）。
拓展2【两段最长子段和】
题意：一段序列中可以取两段，求相加最大值。
枚举每一个分界点。
跳过无用状态：【青蛙过河】
f[i]表示青蛙在i上踩到的最小石子数。
当L=4，S=4，T=5时
可以跳到的点为
4，5，8，9，10，12，13，14，15，16，17，18，19，20.
我们发现，跳到某一个点之后，之后的所有点是都可以取的到的。所以，到它们的公倍数（前面部分也有可能）一定之后的每一点都能取到。
所以我们把所有距离大于ST的缩到ST，这样塔缩短的是非常大的。
变量相互制约：【乌龟棋】
F[I,a1,a2,a3,a4],
优化：
我们发现i是可以通过卡牌数量计算得到的，所以我们直接将这一维直接扔掉，这样我们就把五维数组转化为了四维数组。