数字分割——题解

题目大意

如题，求将一个$N$位数字分割开的方案数，要求割出的数字从左往右严格递增，且数字不能有前导0
$N<=5000$

很容易写一个$O(N^3)$的DP：
$F[i][j]$表示前$i$位，其中最后一个数字位数为$j$的方案数
则$F[i][j]=(\sum_{k=1}^{j-1}F[i-j][k])+F[i-j][j]|当前数字[i-j+1,i] 大于上一数字[i-2*j+1,i-j]$

$\sum_{k=1}^{j-1}F[i-j][k]$这一部分一个前缀和优化就$O(1)$了

关键是如何快速比较当前数字$[i-j+1,i]$与上一数字$[i-2*j+1,i-j]$的大小关系
暴力比较最坏显然是$O(N)$级别的（PS：虽然最后竟有90分！！！）

上高端数据结构？
“可以用字符串哈希+二分查找第一个不相等字符的位置，来确定这两段的大小，复杂度$O(log)$”——摘自Solution

实际上我写的不需那么高(ma)端(fan)。。
考虑暴力比较，每次都从字符串头开始比较，到不同处出结果：

记上次不同的位置位为$lst$，则当$i$后推一个时，$[i,k]$与$[i+L+1,lst-1]$显然是相同的,就无需比较了

for(int L=1,tL=n>>1;L<=tL;L++)
   for(int i=1,ti=n-(L<<1)+1,lst=0;i<=ti;i++){
      for(++lst;lst<i+L;lst++) if(s[lst]!=s[lst+L]){if(s[lst]<s[lst+L]) cmp[i][L]=1;break;}
      lst-=(lst!=i);//回退有细节 
   }

这样就基本保证了$lst$指针的不降（最后要回退一格）,均摊复杂度为$O(N)$，$O(N^2)$预处理出了字符串比较
DP复杂度也优至$O(N^2)$,总复杂度就为$O(N^2)$（实际还小得多^_^）
第三题代码也如此简洁——DP没有F数组

#pragma GCC optimize(3)
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=5005,TT=(1e9)+7;
int n,g[maxn][maxn];char s[maxn];bool cmp[maxn][maxn];
int main(){
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    for(int L=1,tL=n>>1;L<=tL;L++)
      for(int i=1,ti=n-(L<<1)+1,lst=0;i<=ti;i++){
        for(++lst;lst<i+L;lst++) if(s[lst]!=s[lst+L]){if(s[lst]<s[lst+L]) cmp[i][L]=1;break;}
        lst-=(lst!=i);//回退有细节 
      }
    for(int i=1;i<=n;i++){
      for(int j=1;j<i;j++){
        g[i][j]=g[i][j-1];
        if(s[i-j+1]!='0') 
          if(i>=(j<<1)&&cmp[i-(j<<1)+1][j]){if((g[i][j]+=g[i-j][j])>=TT) g[i][j]-=TT;}
            else if((g[i][j]+=g[i-j][(j-1<i-j?j-1:i-j)])>=TT) g[i][j]-=TT;
      }
      if((g[i][i]=g[i][i-1]+1)>=TT) g[i][i]-=TT;
    }
    printf("%d\n",g[n][n]);
    return 0;
}