似然函数取对数的原因

不仅仅是减少计算量

在计算一个独立同分布数据集的联合概率时，如：

$$X=\{x_{1},x_{2},…,x_{N}\}$$

其联合概率是每个数据点概率的连乘：

$$p(X∣Θ)=∏\limits_{i=1}^{N}p(x_{i}∣Θ)$$

两边取对数则可以将连乘化为连加

$$\ln p(X∣Θ)=∑\limits_{i=1}^{N}\ln p(x_{i}∣Θ)$$

乘法变成加法，从而减少了计算量；同时，如果概率中含有指数项，如高斯分布，能把指数项也化为求和形式，进一步减少计算量；另外，在对联合概率求导时，和的形式会比积的形式更方便。

但其实可能更重要的一点是，因为概率值都在[0,1]之间，因此，概率的连乘将会变成一个很小的值，尤其是当数据集很大的时候，联合概率会趋向于0，非常不利于之后的计算。

取对数不影响单调性

$p(x∣Θ_{1})>p(x∣Θ_{2})⇔\ln p(x∣Θ_{1})>\ln p(x∣Θ_{2})$

因为相同的单调性，它确保了概率的最大对数值出现在与原始概率函数相同的点上。因此，可以用更简单的对数似然来代替原来的似然。

Reference：Why we consider log likelihood instead of Likelihood in Gaussian Distribution