【理解】似然函数

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似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性，概率，用于在已知一些参数的情况下，预测接下来在观测上所得到的结果；似然性，则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物之性质的参数进行估值。

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举个例子来说明：抛硬币大家一定都很熟悉
（ $\theta$代表正面朝上的概率，H代表正面朝上，T代表正面朝下）

1、在概率问题中：我们是模型参数 $\theta$已知(这里假设 $\theta=0.5$)，来预测抛硬币的结果(抛两次硬币均正面朝上)。
$结果为：P(HH|\theta)=\theta^2=0.5^2$

2、在似然问题中：我们是 $\theta$未知，已知抛硬币的结果(抛两次硬币均正面朝上)。
$结果为：L(\theta|HH)=P(HH|\theta)=\theta^2$

我们可以发现，单看概率问题是有结论的；但单看似然问题，最终得到了似然函数又有什么作用呢？一般而言，似然问题都是为了解决最大似然问题的，也就是在当前观测结果下，估计参数最有可能的值。

通过 $L=\theta^2$发现，当 $\theta=1$时，L可以取到最大值。也就是说如果只看到抛两次硬币结果都是正面朝上，最有可能的估计就是硬币极不均匀，甚至两面都是正面。只有当实验次数大量时，才能逐渐让 $\theta$趋近于0.5

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为了大家更好地区分似然函数和概率函数，再多说几句。

假设一个函数为 $a^b$，如果令 $b=2$，这样就得到了一个二次函数 $a^2$；如果令 $a=2$，这样就得到了一个指数函数 $2^b$。可以看到二次函数和指数函数都源自一个函数，但在不同条件下拥有了不同的名称。这也被称作逆反函数。看到这里是不是就发现了似然函数也是概率函数的逆反，原函数都是 $P(x|\theta)$，当 $\theta$已知时，它是概率函数；当 $x$已知时，它是似然函数。

参考材料：维基百科、知乎