Description
Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长,可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M,而前N个数都不超过M,卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S,然后向左,或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方,并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2,M=18时,持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤,就可以完成任务:他可以先向左跳10个单位长度,然后再连向左跳3次,每次15个单位长度,最后再向右连跳3次,每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤,则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
当确定N和M后,显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是,在这所有的卡片中,有多少张可以完成任务。
Input
两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。
Output
可以完成任务的卡片数。
Sample Input
2 4
Sample Output
12
Hint
这12张卡片分别是:
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)
Source
又一道容斥定理,可以列出方程a1x1+a2x2+a3x3+·······anxn+m=1;
有解,所以gcd(a1,a2,·········an,m)=1,
所以可以用容斥定理,总数为m^n,奇数加上pow(m/val,n),偶数减去
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll cnt;
ll fac[10005];
ll multi(ll a,ll b)
{
ll ans=0;
while(b)
{if(b&1)
{ans=ans+a;
b--;
}
b>>=1;
a=(a+a);
}
return ans;
}
ll quick_mod(ll a,ll b)
{
ll ans=1;
while(b)
{
if(b&1)
{ans=multi(ans,a);
b--;
}
b>>=1;
a=multi(a,a);
}
return ans;
}
void fenjie(ll n)
{cnt=0;
memset(fac,0,sizeof(fac));
for(ll i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
{fac[cnt++]=i;
while(n%i==0)
n/=i;}
}
if(n>1)
fac[cnt++]=n;
}
ll cal(ll m,ll n)
{ll sum=0;
for(ll i=1;i<(1<<cnt);i++)
{
ll f=0,val=1;
for(ll j=0;j<cnt;j++)
if(i&(1<<j))
{f++;
val*=fac[j];}
if(f&1)
sum+=quick_mod(m/val,n);
else
sum-=quick_mod(m/val,n);
}
return quick_mod(m,n)-sum;
}
int main()
{
ll n,m;
while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
{
fenjie(m);
printf("%lld\n",cal(m,n));
}
return 0;
}