BZOJ 4827 [Hnoi2017]礼物 FFT

题目大意

给出两个序列 $a$，$b$。定义两个序列的差异值为 $\sum\limits_{i=1}^n (a_i-b_i)^2$。你可以对任意一个序列做如下两个操作。
1. 把序列首尾相接，然后从某个位置断开(即旋转)。
2. 给某个序列整体加上 $c$。
求 $A$ 和 $B$ 最小的差异值。

题解

设差异值为 $f$，则序列 $a$ 和 $b$ 的差异值 $f=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2$。
则加上 $c$ 后的差异值 $f'=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i+c-b_i)^2$
可得：$f'-f=\sum\limits_{i=1}^n[(a_i^2+2a_ib_i+b_i^2)-(a_i^2+b_i^2+2a_ic-2b_ic-2a_ib_i+c^2)]$
$\qquad\qquad\quad\;\,=\sum\limits_{i=1}^n2a_ic-2b_ic+c^2$
$\qquad\qquad\quad\;\,=\sum\limits_{i=1}^n(2a_i-2b_i+c)\times c$
$\qquad\qquad\quad\;\,=2(\sum\limits_{i=1}^na_i-\sum\limits_{i=1}^nb_i)c+nc^2$
既然要尽量接近，那就肯定要把差异均摊开。即让$c=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)}{n}$