大一的时候学习计算机基础，知道这么一个概念：负数的补码 = 对应的正数的原码取反 + 1。当时是知其然不知其所以然，记住一个公式却不知道怎么来的、为啥这样。最近刷题的时候接触到了补码，就打算探究一下这个东西的原理。
问题：
我们的问题来源是：用二进制表示正数与负数。首先引入一个模的概念，可以理解为二进制可以表示的数的范围。比如，4位的二进制，可以表示16个数，这里的模就是16。
一种思路：
我们下面就以4位二进制为例。对于无符号数，0000~1111可以依次表示0~15。不过除了正数，我们还想要表示负数。一个自然的想法就是拿出0000~1111的一半来表示正数，一半表示负数。具体地，可以让最高位作为符号位，0表示正，1表示负。
假如我们不知道补码的存在，我们可能会这样做：既然0001表示1，那么让1001（只改了最高位即符号位）表示-1。以此类推，1010表示-2，...，1111表示-7。这样，0000~1111被分为三部分：0000~0111表示0~7；1001~1111表示-1~-7；0000和1000都能表示0。。
先不说0有两个表示法的问题，就看两个数相加会产生什么结果。求1 + (-1)：0001 + 1001 = 1010，这tm不成了-2吗？对，以上面的表示法，是不能直接按二进制运算规则求加减法的，得考虑两个加数的正负号，这就增加了复杂度，是计算机设计者不希望看到的。
补码表示：
我们换一种表示方法：以0000~0111表示0~7（正数表示方法不变），以1000~1111（无符号的8~15）表示-8~-1。具体来说，假设a为正数，那么-a表示为：模-a。这样不仅刚好把16个数都利用起来，还有一些天然的优点（下面介绍）。
我们先来看看“原码取反加1”是怎么来的。设 a = 1 = 0001，模 = 16 = 10000，模 - a = 10000 - 0001 = (1111 + 1) - 0001 = (1111 - 0001) + 1，注意观察，(1111 - 0001)就是对0001各位取反，这就是所谓的“原码取反加1”！
再来看看加减法。求 3 + (-4) ：4的补码是1100（16-4=12），则 3 + (-4) = 0011 + 1100 = 1111 = -1的补码。看来，使用补码进行加减，我们不用单独考虑符号位了。上面这是一个特例，我们来看看一般的情况（模还是16）：
求a - b，其中a和b都是正数。采用补码运算的时候，a - b = a + (16 - b) = 16 + (a - b) ，如果 a > b，a - b为正，左边的16被舍去了，结果就是 a + b；如果 a < b，a - b为负，16 + (a - b)就是 a - b 的补码表示。
a 与 b 同为正或同为负的情况可以做类似的分析，这里我就不展开了。
所以，有了补码，正数、负数的加减法运算被统一了起来，大大方便了计算机的运算。