原码，反码，补码详解及原理

原码

（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。

例如： 符号位 数值位

byte的取值范围

[+7]原= 0 0000111 B[-7]原= 1 0000111 B

注意：

byte的取值范围是-2 ⁷~ 2 ⁷-1 总计256个数

即：

无符号位 0~255 （因为计算机是从0开始计算的而不是1）

有符号位 -128 ～ +127

反码

浮点表示方法

（2）反码：正数：正数的反码与原码相同。负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。例如： 符号位 数值位

[+7]反= 0 0000111 B

[-7]反= 1 1111000 B

注意：1000 0000 B 不等于0 而是 -128

+127 +1 = -128

即 0111 1111 B+1 = 1000 0000 B

也就是发生了 byte值溢出

8位二进制反码的表示范围：-127～+127

为什么 -128 的二进制会是1000 0000；

1000 0000 (原) = 1111 1111(反)

那么问题来了： 64+32+16+8+4+2+1 = 127 为什么会有128呢？

原来 负数的反码是需要补码来计算的，也就是在最后得出的结果上 +1

注意：计算机中只有 +0 而不存在 -0的说法，因为-0是完全没有意义的存在，

即：只有 0000 0000 = +0

而没有 1000 0000 = -0

1000 0000的真实身份是 -128

补码

（3）补码的表示方法

1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。

同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为2^8=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。

2）补码的表示：

正数：正数的补码和原码相同。

负数：负数的补码则是符号位为“1”。并且，这个“1”既是符号位，也是数值位。数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。

例如： 符号位 数值位

[+7]补= 0 0000111 B

[-7]补= 1 1111001 B

补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：

a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部分却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。

b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。

c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

转换

由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。

在此，仅以负数情况分析。

（1） 已知原码，求补码。

例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。

解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。

1 0 1 1 0 1 0 0 原码

1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反

1 +1

1 1 0 0 1 1 00 补码

故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。

（2） 已知补码，求原码。

分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。

例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。

解：由[X]补=11101110B知，X为负数。

采用逆推法

1 1 1 0 1 1 1 0 补码

1 1 1 0 1 1 0 1 反码（末位减1）

1 0 0 1 0 0 1 0 原码（符号位不变，数值位取反）

示例：

请大家来做两个题目：有符号数运算时的溢出问题

两正数相加怎么变成了负数？？？

1）（+72）+（+98）=？

0 1 0 0 1 0 0 0 B +72

0 1 1 0 0 0 1 0 B +98

1 0 1 0 1 0 1 0 B -86

两负数相加怎么会得出正数？？？

2）（-83）+（-80）=？

1 0 1 0 1 1 0 1 B -83

1 0 1 1 0 0 0 0 B -80

0 1 0 1 1 1 0 1 B +93

思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？

答案：这是因为发生了溢出。

如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是 -2的 n-1次幂≤X≤2的 n-1次幂-1

当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。

对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。

而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。

在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在C语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。

在n位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负；其余n-1位为数值位，各位的值可为零或一。当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同；当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码的最低位加一。注意符号位不变。

思考：

为什么在计算机中，负数用补码表示呢？为什么不直接用原码表示？

 　1、表示范围
　　拿单字节整数来说，无符号型，其表示范围是[0,255]，总共表示了256个数据。有符号型，其表示范围是[-128,127]。
　　先看无符号，0表示为0000 0000，255表示为1111 1111，刚好满足了要求，可以表示256个数据。
　　再看有符号的，若是用原码表示，0表示为0000 000。因为咱们有符号，所以应该也有个负0（虽然它还是0）：1000 0000。

　　那我们看看这样还能够满足我们的要求，表示256个数据么？
　　正数，没问题，127是0111 1111，1是0000 0001，当然其它的应该也没有问题。
　　负数呢，-1是1000 0001，那么把负号去掉，最大的数是111 1111，也就是127，所以负数中最小能表示的数据是-127。
　　这样似乎不太对劲，该如何去表示-128？貌似直接用原码无法表示，而我们却有两个0。
　　如果我们把其中的一个0指定为-128，不行么？这也是一个想法，不过有两个问题：一是它与-127的跨度过大；二是在用硬件进行运算时不方便。
　　所以，计算机中，负数是采用补码表示。
如   单字节-1，原码为1000 0001，反码为1111 1110，补码为1111 1111，计算机中的单字节-1就表示为1111 1111。

　　单字节-127，原码是1111 1111，反码1000 0000，补码是1000 0001，计算机中单字节-127表示为1000 0001。
　　
       单字节-128，原码貌似表示不出来，除了符号为，最大的数只能是127了，其在计算机中的表示为1000 0000。

　　2、大小的习惯（个人观点）
　　也可以从数据大小上来理解。还是以单字节数据为例。有符号数中，正数的范围是[1,127]，最大的是127，不考虑符号为，其表示为111 1111；最小的是1，不考虑符号为，其表示为000 0001。
　　负数中，最大的是-1，我们就用111 1111表示其数值部分。后面的数据依次减1。减到000 0001的时候，我们用它标示了-127。再减去1，就变成000 0000了。还好我们有符号为，所以有两个0。把其中带符号的0拿过来，表示-128，刚好可以满足表示范围。

　  以上只是从软件的角度进行了分析，当然，从硬件的角度出发，负数使用补码表示也是有其原因的，毕竟计算机中，最终实现运算的还是硬件。
主要原因有三
　　1>、负数的补码，与其对应正数的补码之间的转换可以用同一种方法----求补运算完成，简化硬件。
　　如
                　　                        原码                        反码                   补码
　　-127     -〉   127      1000 0001   -〉        0111 1110  -〉   0111 1111
        127     -〉  -127      0111 1111   -〉        1000 0000  -〉   1000 0001
　　-128     -〉   128      1000 0000   -〉        0111 1111  -〉   1000 0000
　　 128      -〉  -128      1000 0000   -〉        0111 1111  -〉   1000 0000
　　可以发现，负数和正数求补的方法是一样的。

　　2>、可以将减法变为加法，省去了减法器。
　　在计算机中，我们可以看到，对其求补，得到的结果是其数值对应的负数。同样，负数也是如此。
　　运算中，减去一个数，等于加上它的相反数，这个小学就学过了。既然其补码就是其相反数，我们加上其补码不就可以了。
　　如：A - 127，
　　也就相当于：A + (-127)，
　　又因为负数是以补码的形式保存的，也就是负数的真值是补码，既然这样，当我们要减一个数时，直接把其补码拿过来，加一下，就OK了，我们也可以放心地跟减法说拜拜了！
　　当然这也涉及到类型转换的问题，如单字节128，其原码是1000 0000，其补码也是1000 0000。这样我们+128，或者-128，都是拿1000 0000过来相加，这样不混乱掉了？还好，各个编程语言的编辑器对有类型转换相关的限制。
　　如：（假设常量都是单字节）
　　1 + 128， 真值的运算是 0000 0001 + 1000 0000 ，如果你将结果赋值给一个单字节有符号正数，编辑器会提示你超出了表示范围。因为运算的两个数据是无符号的，其结果也是无符号的129，而有符号单字节变量最大可以表示的是127。
　　1 - 128，真知的运算是 0000 0001 + 1000 0000 ，因为-128是有符号，其运算结果也是有符号，1000 0001，刚好是-127在计算机中的真值。

　　3>、无符号及带符号的加法运算可以用同一电路完成。

　　有符号和无符号的加减，其实都是把它们的真值拿过来相加。真值，也就是一个数值在计算机中的二进制表示。正数的真值就是其原码，负数的真值是其补码。所以，有符号和无符号由编译器控制，计算机要做的不过是把两个真值拿过来相加。

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