【学习笔记】LCA

LCA，最近公共祖先
博主今天回顾了倍增和Tarjan，总共用了40min码了两个模板（至少有20min在找Tarjan模板的错误，下面会讲到）

还是先说一下lca的暴力算法：两个节点一步一步往上跳，跳到同一个地方为止。。
1、倍增
在暴力算法上优化
发现暴力的缺陷：一步一步往上跳太慢。所以我们想到最好能一次跳一大步

先来看一个问题：给出一个数n，要求把n拆分成2的几次幂相加，求加数个数最少的一种方案
举个例子：n=36，36=32+4=16+16+4=16+8+8+4=1*36
反正有很多方案就对了，但加数个数最少的是32+4，加数个数为2，2就是倍增在36的复杂度；加数个数最多的是1*36，加数个数为36,36就是暴力在36的复杂度
再举几个例子：19+16+2+1,18+16+2,836=512+256+64+4
发现先从大的拆起，把这个思想放到树上就是先走大步再走小步

Code:

#include <bits/stdc++.h>
#define res register int
#define ll long long
#define maxn 500010
using namespace std;
struct Node{
    int to,next;
};
Node edge1[maxn<<1];
int head1[maxn<<1],n,m,root,d[maxn],fa[maxn][30],num1;

inline int read(){
    int s=0,w=1;
    char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9'){if (c=='-')w=1;c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') s=s*10+c-'0',c=getchar();
    return s*w;
}
inline void add1(int x,int y){edge1[++num1].to=y;edge1[num1].next=head1[x];head1[x]=num1;}
inline void build(int u,int pre){
    d[u]=d[pre]+1; fa[u][0]=pre;
    for (res i=0;fa[u][i];++i) fa[u][i+1]=fa[fa[u][i]][i];
    for (res i=head1[u];i;i=edge1[i].next){
        int e=edge1[i].to;
        if (e!=pre) build(e,u);
    }
}
inline int lca(int u,int v){
    if (d[u]>d[v]) swap(u,v);
    for (res i=20;i>=0;--i) if (d[u]<=d[v]-(1<<i)) v=fa[v][i];
    if (u==v) return u;
    for (res i=20;i>=0;--i) if (fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
    return fa[u][0];
}

int main(){
    n=read(),m=read(),root=read();
    for (res i=1;i<n;++i){
        int x=read(),y=read();
        add1(x,y); add1(y,x);
    }
    build(root,0);
    for (res i=1;i<=m;++i){
        int x=read(),y=read();
        printf("%d\n",lca(x,y));
    }
    return 0;
}

2、Tarjan
相对于倍增这个在线算法，Tarjan是一个离线算法
具体怎么做就是遍历整个树，不断更新节点的父亲，在某个节点，查询跟它有关的询问，若对方已经访问过，那么对方目前的祖宗就是对方到当前节点一路走来的拐弯处，而拐弯处其实就是lca
维护祖宗就是用并查集的

然后，我这里犯的一个错误就是：对于编号为i的询问（注意这里不是输入编号，而是链式前向星加询问时的编号），它对应的输入编号为(i+1)/2，我弄成了i

Code:

#include <bits/stdc++.h>
#define res register int
#define ll long long
#define maxn 500010
using namespace std;
struct Node{
    int to,next;
};
Node edge1[maxn<<1],edge2[maxn<<1];
int head1[maxn<<1],head2[maxn<<1],n,m,root,num1,num2,f[maxn],print[maxn];
bool vis[maxn];

inline int read(){
    int s=0,w=1;
    char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9'){if (c=='-')w=1;c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') s=s*10+c-'0',c=getchar();
    return s*w;
}
inline void add1(int x,int y){edge1[++num1].to=y;edge1[num1].next=head1[x];head1[x]=num1;}
inline void add2(int x,int y){edge2[++num2].to=y;edge2[num2].next=head2[x];head2[x]=num2;}
inline int get(int k){return f[k]==k?k:f[k]=get(f[k]);}
inline void Tarjan(int u){
    vis[u]=1,f[u]=u;
    for (res i=head1[u];i;i=edge1[i].next){
        int e=edge1[i].to;
        if (!vis[e]){Tarjan(e); f[e]=u;}
    }
    for (res i=head2[u];i;i=edge2[i].next){
        int e=edge2[i].to;
        if (vis[e]) print[(i+1)>>1]=get(e);
    }
}
int main(){
    n=read(),m=read(),root=read();
    for (res i=1;i<n;++i){
        int x=read(),y=read();
        add1(x,y); add1(y,x);
    }
    for (res i=1;i<=m;++i){
        int x=read(),y=read();
        add2(x,y); add2(y,x);
    }
    Tarjan(root);
    for (res i=1;i<=m;++i) printf("%d\n",print[i]);
    return 0;
}

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