吴恩达机器学习笔记7-降维

从特征中去掉冗余的部分

2D->1D：线性相关的两个特征变量可以投影到它们的拟合直线上

3D->2D：3维的点可以投影到一个平面上

主成分分析法PCA

寻找一个向量对所有样本点进行投影，获得最小的投影误差。

一般问题：N维数据降到K维，需要K个投影向量

PCA和线性回归的区别：PCA要求样本点到向量的投影的长度最短，是距离的平方最小，而现行回归是函数值的差的平方最小

步骤

1. 均值标准化
   $$\mu_j=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_j^{(i)}$$
   $$x_j^{(i)}=x_j^{(i)}-\mu_j$$
2. 特征缩放
3. 计算协方差矩阵
   $$\sigma=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(x^{(i)})(x^{(i)})^T$$
4. 奇异值分解
   $$[U,S,V]=svd(\sigma)$$
5. 取出U的前K列
6. $Z=[u^{(1)},u^{(2)},...,u^{(K)}]^T ·X$
   Z是k维的数据,$\because (n,k)^T*(n,1)=(k,n) * (n,1)=(k,1)$

如何选取K
平均预测方差

$$\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m||x^{(i)}-x_{approx}^{(i)}||^2$$
数据总方差 $$\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m||x^{(i)}||^2$$
一般来说，选择在满足下列条件的情况下最小
$$\frac{\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m||x^{(i)}-x_{approx}^{(i)}||^2}{\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m||x^{(i)}||^2}\leq 0.01$$
“99%的误差被保留了”

让k=1，然后逐渐增大k，每次计算这个比值，直到满足条件为止

但是这样的算法比较麻烦，$[U,S,V]=svd(\sigma)$中的S是n*n对角阵，上述比值可以用下式计算

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$$1-\frac{\sum_{i=1}^k S_{ii}}{\sum_{i=1}^n S_{ii}}$$

只需计算一次SVD，改变K的值即可判断误差保留比值
数据重新恢复到高维
Z的维度$(n,k)^T*(n,1)=(k,n) * (n,1)=(k,1)$
$X'=U_{reduce} * Z$
维度$(n,k)(n,k)^T(n,1)=(n,k)(k,n)(n,1)=(n,1)$
应用PCA的一些建议
1. 首先取出所有输入数据
2. 将输入数据降维
3. 使用低维数据进行学习
4. 对于测试来说，把数据映射到低维空间（使用$U_{reduce}$）

不建议使用PCA防止过拟合，建议使用PCA来加速训练，用正则化防止过拟合，首先应该考虑不使用PCA的情况