牛顿切线法

关键字：牛顿(Newton)迭代公式，几何意义，收敛速度，收敛定理，多重根

参考：https://wenku.baidu.com/view/9fa19f3bfe00bed5b9f3f90f76c66137ee064fcd.html

一、步骤

对于，假设一个近似解为（因为可能会有很多根），那么在近似解附近的一阶泰勒展开式可以写成

对于且，可以近似写成

解得

将新得到的x作为近似解，令，再带入上式，得到一个迭代公式

该迭代公式叫牛顿(Newton)迭代公式

二、牛顿迭代法的几何意义

当，那么它的根就代表了曲线与相交的横坐标。如果选定好了初始位置，那么在处的切线为，该切线与x轴的交点的横坐标为，再从做切线，然后找交点，再做切线......那么递推公式为，如下图所示

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因为是不断的做切线，牛顿迭代法也叫牛顿切线法

三、牛顿迭代法的收敛性和收敛速度

3.1 存在定理

设在满足

并且都存在且符号都保持不变

那么方程在上有且只有一个实根，迭代法得到的序列收敛于该实根

3.2 收敛定理

如果为单根，那么牛顿迭代法在根附近至少二阶收敛

3.3 收敛速度

当为m重根，那么可以表示为，其中，此时牛顿迭代法求

仍然收敛，但是速度会大大减慢。