如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？
动态规划的思想:1.当我们遇到一个大问题时，总是习惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论。 2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的，本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题.
动态规划的求解过程中有两个概念:状态和状态转移方程。状态就是如何描述这个问题并且如何求解的过程。在这个问题中。可以采用dp(i)=j来表示i元由j个硬币组成的。表示出了这个子问题过后，进行如何求解的过程。dp(0)=0表示0元由0个硬币组成，dp(1)=dp(1-1)+1,表示拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，而这个是已经知道答案的，即d(0)=0。在大部分的动态规划中都有当前状态依赖于前一个状态，并且独立于后面的状态。要当前所求的值最小，只要满足前一个依赖的状态最小就可以达到要求。再接下来分析,dp(2)=dp(2-1)+1,因为还是只有1元硬币可以使用。所以只能取一个一元的硬币，凑够dp(1)就即可。在dp(3)时可以有两种取法。一种是dp(3)=dp(3-1)+1或者dp(3)=dp(3-3)+1.分别表示取一个一元硬币各先取3元硬币，就有两种值。从这些状态中我们可以推出状态转移方程：d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j个硬币的面值;有了状态转移方程，就可以很快解决这个问题。具体代码如下:
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
int num[100],V[3]={1,3,5};
int N=11;
int i,j;
for(i=0;i<100;i++) ////进行数据初始化
num[i]=1000;
num[0]=0; ////问题起点
for(i=1;i<=N;i++)////求得每一个dp{i]
{
for(j=0;j<3;j++)
if(V[j]<=i && num[i-V[j]]+1 < num[i])///进行判断查找最大值
num[i]=num[i-V[j]]+1;
cout<<i<<":"<<num[i]<<endl; ///输出每种情况
}
cout<<num[N]<<endl;///输出最小硬币数目
return 0;
}
附上运行结果示截图:
