卷积核——Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子

- - 一、算子推导过程

图像处理卷积核——算子

在对图像的操作，我们采用模板对原图像进行卷积运算，从而达到我们想要的效果。而获取一幅图像的梯度就转化为：模板（Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子）对原图像进行卷积。

一、算子推导过程

知识引入：
在一维连续数集上有函数f(x),我们可以通过求导获得该函数在任一点的斜率，根据导数的定义有：

f^{'} (x) = f (x + Δ x) - f (x)

$f'(x) = f(x+\Delta x) - f(x)$
在二维连续数集上有函数f(x,y),我们也可以通过求导获得该函数在x和y分量的偏导数，根据定义有：

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} f (x + Δ x, y) - f (x, y)

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} f(x+\Delta x,y) - f(x,y)$

\frac{\partial f (x, y)}{\partial y} f (x, y + Δ y) - f (x, y)

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} f(x,y+\Delta y) - f(x,y)$

1.1 梯度和Roberts算子：

对于图像来说，是一个二维的离散型数集，通过推广二维连续型求函数偏导的方法，来求得图像的偏导数，即在(x,y)处的最大变化率，也就是这里的梯度：

g_{x} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} f (x + 1, y) - f (x, y)

$g_x = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} f(x+1,y) - f(x,y)$

g_{y} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} f (x, y + 1) - f (x, y)

$g_y = \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} f(x,y+1) - f(x,y)$
梯度是一个矢量，则(x,y)处的梯度表示为：

\nabla f \equiv g r a d (f) \equiv [g_{x}, g_{y}]^{T} = {[\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}]}^{T}

$∇f \equiv grad(f) \equiv[g_x,g_y]^T = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}^T$

其大小为： $M(x,y) = mag(∇f)=\sqrt{g_x^2+g_y^2}$
这里写图片描述
2*2大小的模板在概念上很简单，但是他们对于用关于中心点对称的模板来计算边缘方向不是很有用，
其最小模板大小为3*3。3*3模板考虑了中心点对段数据的性质，并携带有关于边缘方向的更多信息。

1.2 Prewitt：

这里写图片描述

1.3 Sobel算子

Sobel算子是在Prewitt算子的基础上改进的，在中心系数上使用一个权值2，相比较Prewitt算子，Sobel模板能够较好的抑制（平滑）噪声。
这里写图片描述
上述所有算子都是通过求一阶导数来计算梯度的，用于线的检测，在图像处理中，通常用于边缘检测。在图像处理过程中，除了检测线，有时候也需要检测特殊点，这就需要用二阶导数进行检测。

1.4 Lapacian算子：

这里写图片描述

模板中心位置的数字是-8而不是-4，是因为要使这些系数之和为0，当遇到恒定湖对区域时，模板响应应将0。(如下图1)
用lapacian算子图像进行卷积运算时，当响应的绝对值超过指定阈值时，那么该点就是被检测出来的孤立点，具体输出如下： (如下图2)
这里写图片描述