Python实现几个经典排序算法

名词解释：

n：数据规模
k：“桶”的个数
In-place：占用常数内存，不占用额外内存
Out-place：占用额外内存
稳定性：排序后2个相等键值的顺序和排序之前它们的顺序相同

冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序须知：

冒泡排序每次找出一个最大的元素，因此需要遍历 n-1 次。还有一种优化算法，就是立一个flag，当在一趟序列遍历中元素没有发生交换，则证明该序列已经有序。但这种改进对于提升性能来说并没有什么太大作用。

什么时候最快（Best Cases）：

当输入的数据已经是正序时。

什么时候最慢（Worst Cases）：

当输入的数据是反序时。

def bubbleSort(nums):
    for i in range(len(nums) - 1): # 遍历 len(nums)-1 次
        for j in range(len(nums) - i - 1): # 已排好序的部分不用再次遍历
            if nums[j] > nums[j+1]:
                nums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j] # Python 交换两个数不用中间变量
    return nums

冒泡排序的动态演示

选择排序（Selection Sort）

选择排序须知：

选择排序不受输入数据的影响，即在任何情况下时间复杂度不变。选择排序每次选出最小的元素，因此需要遍历 n-1 次。

选择排序动图演示：

def selectionSort(nums):
    for i in range(len(nums) - 1):  # 遍历 len(nums)-1 次
        minIndex = i
        for j in range(i + 1, len(nums)):
            if nums[j] < nums[minIndex]:  # 更新最小值索引
                minIndex = j  
        nums[i], nums[minIndex] = nums[minIndex], nums[i] # 把最小数交换到前面
    return nums

快速排序（Quick Sort）

快速排序须知：

又是一种分而治之思想在排序算法上的典型应用。本质上来看，快速排序应该算是在冒泡排序基础上的递归分治法。它是处理大数据最快的排序算法之一，虽然 Worst Case 的时间复杂度达到了 O(n²)，但是在大多数情况下都比平均时间复杂度为 O(n log n) 的排序算法表现要更好，因为 O(n log n) 记号中隐含的常数因子很小，而且快速排序的内循环比大多数排序算法都要短小，这意味着它无论是在理论上还是在实际中都要更快，比复杂度稳定等于 O(n log n) 的归并排序要小很多。所以，对绝大多数顺序性较弱的随机数列而言，快速排序总是优于归并排序。它的主要缺点是非常脆弱，在实现时要非常小心才能避免低劣的性能。

动态演示：

def quickSort(nums):  # 这种写法的平均空间复杂度为 O(nlogn)
    if len(nums) <= 1:
        return nums
    pivot = nums[0]  # 基准值
    left = [nums[i] for i in range(1, len(nums)) if nums[i] < pivot] 
    right = [nums[i] for i in range(1, len(nums)) if nums[i] >= pivot]
    return quickSort(left) + [pivot] + quickSort(right)

'''
@param nums: 待排序数组
@param left: 数组上界
@param right: 数组下界
'''
def quickSort2(nums, left, right):  # 这种写法的平均空间复杂度为 O(logn) 
    # 分区操作
    def partition(nums, left, right):
        pivot = nums[left]  # 基准值
        while left < right:
            while left < right and nums[right] >= pivot:
                right -= 1
            nums[left] = nums[right]  # 比基准小的交换到前面
            while left < right and nums[left] <= pivot:
                left += 1
            nums[right] = nums[left]  # 比基准大交换到后面
        nums[left] = pivot # 基准值的正确位置，也可以为 nums[right] = pivot
        return left  # 返回基准值的索引，也可以为 return right
    # 递归操作
    if left < right:
        pivotIndex = partition(nums, left, right)
        quickSort2(nums, left, pivotIndex - 1)  # 左序列
        quickSort2(nums, pivotIndex + 1, right) # 右序列
    return nums

归并排序（Merge Sort）

归并排序须知：

作为一种典型的分而治之思想的算法应用，归并排序的实现由两种方法：

1. 自上而下的递归（所有递归的方法都可以用迭代重写，所以就有了第2种方法）
2. 自下而上的迭代
   

def mergeSort(nums):
    # 归并过程
    def merge(left, right):
        result = []  # 保存归并后的结果
        i = j = 0
        while i < len(left) and j < len(right):
            if left[i] <= right[j]:
                result.append(left[i])
                i += 1
            else:
                result.append(right[j])
                j += 1
        result = result + left[i:] + right[j:] # 剩余的元素直接添加到末尾
        return result
    # 递归过程
    if len(nums) <= 1:
        return nums
    mid = len(nums) // 2
    left = mergeSort(nums[:mid])
    right = mergeSort(nums[mid:])
    return merge(left, right)

和选择排序一样，归并排序的性能不受输入数据的影响，但表现比选择排序好的多，因为始终都是O(n log n）的时间复杂度。代价是需要额外的内存空间。

堆排序（Heap Sort）

堆排序须知：

堆排序可以说是一种利用堆的概念来排序的选择排序。分为两种方法：

1. 大根堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值，用于升序排列；
2. 小根堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值，用于降序排列。

如下图所示，首先将一个无序的序列生成一个最大堆，如图（a）所示。接下来我们不需要将堆顶元素输出，只要将它与堆的最后一个元素对换位置即可，如图（b）所示。这时我们确知最后一个元素 99 一定是递增序列的最后一个元素，而且已经在正确的位置上。 现在问题变成了如何将剩余的元素重新生成一个最大堆——也很简单，只要依次自上而下进行过滤，使其符合最大堆的性质。图（c）是调整后形成的新的最大堆。要注意的是，99 已经被排除在最大堆之外，即在调整的时候，堆中元素的个数应该减 1 。结束第 1 轮调整后，再次将当前堆中的最后一个元素 22 与堆顶元素换位，如图（d）所示，再继续调整成新的最大堆……如此循环，直到堆中只剩 1 个元素，即可停止，得到一个从小到大排列的有序序列。

# 大根堆（从小打大排列）
def heapSort(nums):
    # 调整堆
    def adjustHeap(nums, i, size):
        # 非叶子结点的左右两个孩子
        lchild = 2 * i + 1
        rchild = 2 * i + 2
        # 在当前结点、左孩子、右孩子中找到最大元素的索引
        largest = i 
        if lchild < size and nums[lchild] > nums[largest]: 
            largest = lchild 
        if rchild < size and nums[rchild] > nums[largest]: 
            largest = rchild 
        # 如果最大元素的索引不是当前结点，把大的结点交换到上面，继续调整堆
        if largest != i: 
            nums[largest], nums[i] = nums[i], nums[largest] 
            # 第 2 个参数传入 largest 的索引是交换前大数字对应的索引
            # 交换后该索引对应的是小数字，应该把该小数字向下调整
            adjustHeap(nums, largest, size)
    # 建立堆
    def builtHeap(nums, size):
        for i in range(len(nums)//2)[::-1]: # 从倒数第一个非叶子结点开始建立大根堆
            adjustHeap(nums, i, size) # 对所有非叶子结点进行堆的调整
        # print(nums)  # 第一次建立好的大根堆
    # 堆排序 
    size = len(nums)
    builtHeap(nums, size) 
    for i in range(len(nums))[::-1]: 
        # 每次根结点都是最大的数，最大数放到后面
        nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0] 
        # 交换完后还需要继续调整堆，只需调整根节点，此时数组的 size 不包括已经排序好的数
        adjustHeap(nums, 0, i) 
    return nums  # 由于每次大的都会放到后面，因此最后的 nums 是从小到大排列

桶排序（Bucket Sort）

桶排序须知：

桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。

为了使桶排序更加高效，我们需要做到这两点：

在额外空间充足的情况下，尽量增大桶的数量
使用的映射函数能够将输入的 N 个数据均匀的分配到 K 个桶中
同时，对于桶中元素的排序，选择何种比较排序算法对于性能的影响至关重要。

什么时候最快（Best Cases）：

当输入的数据可以均匀的分配到每一个桶中

什么时候最慢（Worst Cases）：

当输入的数据被分配到了同一个桶中

桶排序 Python 代码实现：

def bucketSort(nums, defaultBucketSize = 5):
    maxVal, minVal = max(nums), min(nums)
    bucketSize = defaultBucketSize  # 如果没有指定桶的大小，则默认为5
    bucketCount = (maxVal - minVal) // bucketSize + 1  # 数据分为 bucketCount 组
    buckets = []  # 二维桶
    for i in range(bucketCount):
        buckets.append([])
    # 利用函数映射将各个数据放入对应的桶中
    for num in nums:
        buckets[(num - minVal) // bucketSize].append(num)
    nums.clear()  # 清空 nums
    # 对每一个二维桶中的元素进行排序
    for bucket in buckets:
        insertionSort(bucket)  # 假设使用插入排序
        nums.extend(bucket)    # 将排序好的桶依次放入到 nums 中
    return nums

计数排序（Counting Sort）

计数排序须知：

计数排序要求输入数据的范围在 [0,N-1] 之间，则可以开辟一个大小为 N 的数组空间，将输入的数据值转化为键存储在该数组空间中，数组中的元素为该元素出现的个数。它是一种线性时间复杂度的排序。

计数排序动图演示：

def countingSort(nums):
    bucket = [0] * (max(nums) + 1) # 桶的个数
    for num in nums:  # 将元素值作为键值存储在桶中，记录其出现的次数
        bucket[num] += 1
    i = 0  # nums 的索引
    for j in range(len(bucket)):
        while bucket[j] > 0:
            nums[i] = j
            bucket[j] -= 1
            i += 1
    return nums