[DP] [组合数学] [BZOJ4807] 車

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蛤蛤蛤蛤……高三真是狗……
（别问我开学第一周怎么度过的我不想说……）
看到题目首先想到一个DP，$dp[i][j]$表示放在第$i$行第$j$列的可行方案数，于是就有如下转移辣：

$$\begin{equation} dp[i][j]=\sum\limits_{k=j+1}^{m}dp[i-1][k] \ \ \ \ i\in[2,n],j\in[1,m] \end{equation}$$
答案就是：
$$\begin{equation} ans=\sum\limits_{i=1}^{m}dp[n][i] \end{equation}$$
初状态是：
$$\begin{equation} dp[1][i]=1 \ \ \ \ i\in [1,m] \end{equation}$$
应该比较好理解吧……車不能与其他車放置在同行和同列，还必须要求每个車的左上不能有其他車。
不过棋盘的放置是不确定的，可以 $n$作为行也可以 $m$作为行，所以把 $n$和 $m$反过来再DP一遍。发现有时候 $n$作为行无解有时候 $m$作为行无解，有解时 $n<m$，所以DP一遍就好了。
这样随便一个 $O(nm^2)$的DP就出来了，可是……过不去……
那么找找优化方法，注意到第二行的DP类似于对第一行做了个前缀和，每一行与前一行都错开一位做前缀和处理，所以那个DP式子中代价 $O(m)$的求和就可以优化一下……
列个表看一下，其实DP方程就被优化成了这样：
$$\begin{equation} dp[i][j]=dp[i][j+1]+dp[i-1][j+1]\ \ \ \ i\in[2,n],j\in[1,m] \end{equation}$$
如果学过选修2-3，就会看出这和组合数很类似啊……
$$\begin{equation} \binom{n+1}{m}=\binom{n}{m}+\binom{n}{m-1} \end{equation}$$
具体证明……这个数学老师应该讲了吧……（我忘了……）
这个DP时间复杂度是 $O(nm)$的，不过打一下表，发现这就是把杨辉三角顺时针旋转了 $90^\circ$，要求的值，即最后一行的和，其实就是杨辉三角中一列的和，要求的答案在杨辉三角中可以表示为：
$$\begin{equation} ans=\sum\limits_{i=1}^{m-1}\binom{n-1}{i} \end{equation}$$
这个求和还是数学课上讲过……可以化简为 $n\choose m$……
所以优化了一堆，就是求个组合数咯……输出最后50位……
至于 $n<m$，将DP数组转置的时候自然是 $m<n$，所以有 $m>n$的情况只需把棋盘转一下，转成合法情况放置再转回去，就是对应的合法情况咯……
有意思的题……
时间复杂度 $O(n\log_2 \log_2 n+50n\log_2n)$？xbb别当真……
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