◆学时·VII◆ 高维DP

自学之余，偶遇DP……

◇ 算法概述

顾名思义——一种处理多方面状态的DP，这种DP特点是……每一维的大小都不算太大（不然用dp数组存储下来内存会炸），而且枚举时容易超时……（一般来说，DP的复杂度为每一维的可取值之积。毕竟是乘积，很容易炸掉）。

众所周知，除了状压DP，一般的DP都是每一维表示了一个方面的状态，因此我们需要按照一定顺序枚举状态。

高维DP的大多数题中，各个方面的状态是互相关联、影响的，因此注意状态之间的互相限制是高维DP的难点，这也导致高维DP非常费脑子——状态转移方式奇多无比。

还有什么注意事项就看下面的例题吧~

◇ 例题选讲

（好像只找到一道题，之后找到其他的好题再补上吧……QwQ）

【Codeforces 14E】Camels +传送门+

· 题目大意

n个数依次为A_1~n，当且仅当第i个数(1<i<n)满足 A_i-1<A_i 且 A_i>A_i+1，我们称A_i是一个驼峰；当且仅当 A_i-1>A_i且 A_i<A_i+1，我们称 A_i 是一个谷底。已知 1≤A_i≤4 ，求恰好形成t个驼峰的方案数。

· 解析

这道题是DP没任何问题，统计类一般是DP（其他就是暴力DFS）……

现在就可以开始找有哪些方面的状态了：

数的位置 i；第 i 个位置上的数 j ；第 i 个数在第 k 个驼峰上（从上升段开始到下降段结束）；第 i 个数在驼峰的上升/下降段。

注意：我们并不需要找到所有的状态，那些关联很紧密（几乎一一对应的）就不需要用了，我们只需要找相对有独立性但仍能影响其他状态的状态。

有了这些状态，我们就可以进行状态转移了。

提示：如果你发现你找出的状态无法互相转移，不要犹豫，换一种方法吧……

分几种情况讨论（Tab. 这里将驼峰算作上升段，谷底算作下降段）：

上升的第一种dp[i-1][r][k][1]就是i和i-1在同一个驼峰上且都处于上升段，直接相加；

上升的第二种dp[i-1][r][k-1][0]就是i-1是前一个驼峰上的下降段的末尾（谷底），直接相加；

下降的第一种dp[i-1][r][k][0]就是i-1和i在同一个驼峰上，都处于下降段，直接相加；

下降的第二种dp[i-1][r][k][1]就是i-1和i在同一个驼峰上，i-1处于上升段的末尾（驼峰），直接相加；

· 源代码

 1 /*Lucky_Glass*/
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int MAXN=20,MAXDIG=4,MAXT=10;
 7 typedef long long ll;
 8 ll dp[MAXN+5][MAXDIG+5][MAXT+5][2];
 9 //dp[i][j][k][r] 第i个数为j时在第k个驼峰上处于 r=1上升,r=0下降 状态
10 int main()
11 {
12     int n,t;scanf("%d%d",&n,&t);
13     dp[2][2][1][1]=1;
14     dp[2][3][1][1]=2;
15     dp[2][4][1][1]=3;
16     for(int i=3;i<=n;i++)
17         for(int j=1;j<=4;j++)
18             for(int k=1;k<=t;k++)
19                 for(int r=1;r<=4;r++) //上一个数字
20                 {
21                     if(r<j)
22                         dp[i][j][k][1]+=dp[i-1][r][k][1];
23                     if(r<j && k>0)
24                         dp[i][j][k][1]+=dp[i-1][r][k-1][0];
25                     if(r>j)
26                         dp[i][j][k][0]+=dp[i-1][r][k][0],
27                         dp[i][j][k][0]+=dp[i-1][r][k][1];
28                 }
29     ll ans=0;
30     for(int i=1;i<=4;i++)
31         ans+=dp[n][i][t][0];
32     printf("%lld\n",ans);
33     return 0;
34 }

The End

Thanks for reading!

- Lucky_Glass

（Tab：如果我有没讲清楚的地方可以直接在邮箱[email protected] email我，在周末我会尽量解答并完善博客~）

【学时总结】◆学时·VII◆ 高维DP