1021 - 期望/概率dp - 游戏（Alice and Bob）

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题目描述

Alice 和 Bob 两个人正在玩一个游戏，游戏有很多种任务，难度为 p 的任务（p是正整数），有 1/(2^p) 的概率完成并得到 2^(p-1) 分，如果完成不了，得 0 分。一开始每人都是 0 分，从 Alice 开始轮流做任务，她可以选择任意一个任务来做；而 Bob 只会做难度为 1 的任务。只要其中有一个人达到 n 分，即算作那个人胜利。求 Alice 采取最优策略的情况下获胜的概率。

输入格式

一个正整数 n ，含义如题目所述。

输出格式

一个数，表示 Alice 获胜的概率，保留 6 位小数。

输入

1

输出

0.666667

备注

【数据范围】
对于 30% 的数据，n≤10
对于 100% 的数据，n≤500

分析

概率dp入门题
定义 $f[i][j]$ 表示Alice有 i 分，Bob有 j 分时，Alice获胜的最大概率
显然 $f[n][i]=1$ (i $\subseteq {0,1,2,...,n}$)
最后我们要求的就是 $f[0][0]$
怎么转移呢？
令 $2^{p-1}=k$，我们枚举Alice下一步的得分（因为Bob只有0和1两种分值）
由题可知，得到这部分分的概率是 $\frac{1}{2^p}=\frac{1}{2*k}$
转移方程就呼之欲出了：

$f[i][j]=f[i+k][j]/4k+f[i+k][j+1]/4k+f[i][j+1]*(2k-1)/4k+f[i][j]*(2k-1)/4k$

除以4k的原因就是有1/2是Bob的，还有1/2*k是Alice的
然后再合并同类项，把右边的 $f[i][j]$移到左边，就可以得到

$f[i][j]=(f[i+k][j]+f[i+k][j+1]+f[i][j+1]*(2k-1))/(2k+1)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n; 
double f[505][505];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int i,j,k;
	for(i=0;i<=n;++i) f[n][i]=1;
	for(i=n-1;i>=0;--i)
		for(j=n-1;j>=0;--j){
			double tmp=-1;
			for(k=1;k/2<=n;k<<=1){
				int nxt=min(i+k,n);
				tmp=max(tmp,(f[nxt][j]+f[nxt][j+1]+(2*k-1)*f[i][j+1])/(2*k+1));
			}
			f[i][j]=tmp;
		}
	printf("%.6lf",f[0][0]);
}