【题解】BZOJ 1026 [SCOI2009]windy数

$Description$

传送门

$windy$ 定义了一种 $windy$ 数。不含前导零且相邻两个数字之差至少为 $2$ 的正整数被称为 $windy$ 数。 $windy$ 想知道， 在 $A$ 和 $B$ 之间，包括 $A$ 和 $B$ ，总共有多少个 $windy$ 数？

$Solution$

首先是套路，将 $[l, r]$ 转化为 $[1, r] - [1, l - 1]$。

反正我觉得我用记忆化搜索解数位DP十分顺溜，这回我就还是用记忆化搜索解这道题。

我们用 $d(i, j)$ 表示处理到第 $i$ 位，当前最高位是 $j$ 的方案数。

由于数字的特殊性，在 $dfs()$ 是还要加两个 $flag$ 。分别表示是否是最高位（排除前导 $0$），以及当前的数是否和那个上限重合（听起来有点抽象。举个例子就是给定一个数 $2430$。当前枚举第三位是 $2$ 的话，第二位就是 $1$ ~ $9$ 之间任意一个数，而第三位是 $3$ 的话，第二位只能取 $1$ ~ $4$ ）有了状态转移就很方便了。直接把所有可能的都加上即可。

$Code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
int d[20][10], bits[20];
int dfs(int pos, int pre, bool limit, bool first) {
    if (pos == 0) return 1;
    if (!limit && !first && d[pos][pre] != -1) return d[pos][pre];
    int u = limit ? bits[pos] : 9, ret = 0;
    for (int i = 0; i <= u; i++) {
        if (first || (!first && abs(pre - i) >= 2))
            ret += dfs(pos - 1, i, limit && i == u, first && !i);
    }
    return limit || first ? ret : d[pos][pre] = ret;
}
int calc(int n) {
    memset(d, -1, sizeof d);
    int len = 0;
    while (n) {
        bits[++len] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    return dfs(len, 0, true, true);
}
int main() {
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    std::cout << calc(b) - calc(a - 1) << std::endl;
    return 0;
}