[BZOJ5329][Sdoi2018]战略游戏（圆方树+虚树）

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https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5329

Solution

首先介绍一下圆方树。
先求点双连通分量，设原图中的点为圆点。
然后对于每个点双连通分量建一个方点，从方点向连通分量内的所有点连一条边，并把这个连通分量里原有的边删掉。
在 Tarjan 求点双的过程中，所有点分别入栈了一次，而除了根之外所有的点都出栈了一次，设有 $m$ 个点双，那么除了出栈过的 $n-1$ 个点进入点双之外，每次找到连通分量时还要把一个割点算入，这样所有点双的点数之和为 $n+m-1$ ，而上面的构图中圆点和方点的总数为 $n+m$ ，所以得出，这样得到的是一棵树，这棵树就是圆方树。
圆方树有一些神奇的性质：
（1）原图的割点对应圆方树的割点（方点除外），也就是属于多个方点的圆点。
（2）两个点 $u,v$ 之间的割点集合为圆方树 $u$ 到 $v$ 的路径上除 $u$ 和 $v$ 的所有圆点。
回到问题。建出圆方树，可以把问题进行转化。
求一个点集之间两两的路径的并上，有多少个圆点（这个选出的点集除外）。
点集之间两两的路径并实际上就是这个点集构成的虚树。
把关键点按 DFS 序排序后我们要求的就是求相邻两个点之间路径的并。
我们给每条边一个权值： $(u,v)$ 边，如果深度较大的点 $v$ 为圆点则 $(u,v)$ 的权值为 $1$ ，否则为 $0$ 。
这样，问题再次转化：
求点集 $S$ 所在虚树的边权和，减去 $|S|$ ，如果虚树的根为圆点则加一。
容易想到，点集 $S$ 的虚树的边权和，
就是 DFS 序排序之后 $1$ 到 $2$ ， $2$ 到 $3$ ，…， $|S|-1$ 到 $S$ ， $S$ 到 $1$ 的路径边权之和除以 $2$ 。
利用倍增 LCA 即可求得。

Code

cpp