1.2.4 指数
考虑一下计算一个数的指数的问题，我们要有一个程序，
参数是一个底数Ｂ，和一个正整数的指数Ｎ，并且计算Ｂ的Ｎ次幂．
根据递归的定义，实现的一种方式如下：
b^n=b*b^(n-1)
b^0=1
它能被翻译成程序如下：
(define (expt b n)
(if (= n 0)
1
(* b (expt b (- n 1)))
)
)
这是一个线性的递归程序，它要求有 得塔Ｎ 步骤和 得塔Ｎ的空间．
正如非波那数列一样，我们能够形式化生成一个等价的线性迭代．
(define (expt b n)
(expt-iter b n 1))
(define (expt-iter b counter product)
(if (= counter 0)
product
(expt-iter b (- counter 1) (* b product))
)
)
这个版本的程序要求 得塔Ｎ 步骤和 得塔１的空间．
利用连续的乘法，我们能够用更少的步骤计算指数．例如，Ｂ的８次方，
不用算８次，
b*(b*(b*(b*(b*(b*(b*b))))))
我们能够用３次乘法．
b^2=b*b
b^4=b^2*b^2
b^8=b^4*b^4
对于指数是２的幂的情况，这种方法就很好． 总之在有如下的规则的情况下，
在计算指数时，我们也能够利用连续乘方的方法．
如果Ｎ是偶数时： b^n=(b^(b/2))^2
如果Ｎ是奇数时： b^n=b*b^(n-1)
我们能够把这个方法写成程序：
(define (fast-expt b n)
(cond ((= n 0) 1)
((even? n) (square (fast-expt b (/ n 2))))
(else (* b (fast-expt b (- n 1))))
)
)
检测一个整数是不是偶数的判断式使用了原生程序remainder.
(define (even? n)
(= (remainder n 2) 0))
在空间需求和执行步骤数量的要求方面，fast-expt的执行过程都是以对数级进行增长。
为了了解这个情况，注意的是使用fast-expt计算 b^(2*N),仅要求比b^N的计算多了一次乘法而矣。
我们能计算的指数级规模，因此我们能被允许双倍新的乘法。因此对于n的指数的增长要求的乘法次数
关于与以2为底的N的对象一样快。这个执行过程有 theta（log(N))的增长。
对数增长与线性增长的区别在N很大时，才变得很明显。例如，对于N=1000,fast-expt仅需要14次乘法。
在练习1.16中计算指数，以对数级的步骤数量，以迭代的算法，使用连续平方的思想也是可能的。尽管，与常规的
迭代算法一样，这不像递归算法那样容易写。
练习1.16
设计一个迭代的程序，执行连续的乘法，使用对数级的步骤数量。正如fast-expt的做法。
（提示：注意（b^(n/2)）^2=(b^2)^(n/2)保持一个N和底数b,一个额外的状态变量a,定义一个状态转换，
以a*b^n从一个状态转换到另一个状态。在执行过程开始时，a=1,在过程结束时，a是答案。总之，
定义一个不变量让它从一个状态到另一个状态时保持不变，这种技术是关于迭代算法的设计的强有力的方式。）
练习1.17
在这部分的指数算法中，是基于重复乘法的方式来执行指数计算的。
在相似的方式是，能够执行整数的乘法以重复加法的方式。
如下的乘法程序（在此假定我们的语言仅有加法没有乘法）与expt的程序是相似的。
(defne (* a b)
(if (= b 0)
0
(+ a (* a (- b 1)))))
这个算法的步骤的数量是与b成线性关系的。现在我们假定，包括加法，和操作 加倍，和操作减半。使用
这些程序设计一个乘法，与fast-expt相似的程序。有对数级的操作步骤数。
练习1.18
使用练习1.16和 练习1.17的结果，把一个程序改成迭代过程的程序。
两个整数相乘，使用加法，加倍，减半等程序。
练习1.19
为了计算斐波那些数，这有一个聪明的算法，它有对数级的步骤数。
在1.2.2部分中的fib-iter执行过程中，重新调用 状态变量a和b的转换，
a<-a+b和 b<-a。这个转换称为T，注意不断地重复应用T,若干次，开始为1和0，
生成Fib(n+1)和 Fib(n)的数对。换句话说，斐波那些数是被应用T若干次而生成的。
是转换T的第若干次幂，开始于数对（1，0）。现在，可以认为T是转换Tpq的家族中的
当p=0 和q=1时的一个特例，Tpq的转换是把数对(a,b)变成 a<-bq+aq+ap和 b<-bp+aq。
显示的是如果我们应用这么个转换Tpq两次，与使用一个单独转换的Tp'q'的效果一致，那么可以计算
p'和q'用p和q表示的式子。这让我们可以以一种显式的方式来平方这些转换，因此我们能够
计算T^n，使用连续的平方，正如fast-expt程序所做的那样。
把这些结合起来，完成如下的程序，它运行时有对数级步骤数量。
(define (fib n)
(fib-iter 1 0 0 1 n)
)
(define (fib-iter a b p q count)
(cond ((= count 0) b)
((even? count)
(fib -iter a
b
<??> ; compute p'
<??> ; compute q'
(/ count 2)))
(else (fib-iter (+ (* b q) (* a q) (* a p))
(+ (* b p) (* a q)
p
q
(- count 1)))
)
)