多项式各种操作

前些天学了一堆多项式的算法，今天总结一下。

乘法

朴素的NTT就不说了，主要说一下三模数NTT。
三模数NTT，顾名思义，就是选取三个适合做NTT的模数，然后把它们用CRT合并起来得到的答案再去对我们要求的模数取模。
为了方便，这三个模数分别是998244353, 1004535809和469762049。它们的原根都是3，且它们减去1的值都有超过20个2的因子。
如果你觉得能用int128的话就请忽略下面所有的表述
但是，在用CRT合并的时候，我们遇到一个麻烦：这三个模数的乘积太大了。我们令三个模数分别为p1, p2, p3，对三个模数取模得到的答案分别为a1, a2, a3，不做取模的原本的答案为Ans，则有：

$$Ans \equiv a1~(mod~p1)$$
$$Ans \equiv a2~(mod~p2)$$
$$Ans \equiv a3~(mod~p3)$$
先用CRT合并前两个模数的答案，得到
$$Ans \equiv A~(mod~M)$$
$$Ans \equiv a3~(mod~p3)$$
设
$$Ans = kM + A$$
那么
$$kM + A \equiv a3~(mod~p3)$$
即
$$k \equiv \frac{(a3 - A)}{M}~(mod~p3)$$
此时k, M, A我们都已经得到，就直接对我们要求的模数取模就好了，即
$$Ans~\%~p = ((k~\%~p) * (M~\%~p) + A)~\%~p$$

Code

inline void exntt(int *a, int *b)
{
    int len = 1, bit = 0;
    while (len < n + m) len <<= 1, bit++;
    for (int i = 0; i < len; i++) rev[i] = rev[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << bit - 1;
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < len; j++) c[j] = a[j], d[j] = b[j];
        ntt(c, len, 1, p[i]);
        ntt(d, len, 1, p[i]);
        for (int j = 0; j < len; j++) ans[i][j] = 1ll * c[j] * d[j] % p[i];
        ntt(ans[i], len, -1, p[i]);
    }
    for (int i = 0; i < n + m - 1; i++) {
        ll A = (mul(1ll * ans[0][i] * p[1] % M, ksm(p[1] % p[0], p[0] - 2, p[0]), M) +
                mul(1ll * ans[1][i] * p[0] % M, ksm(p[0] % p[1], p[1] - 2, p[1]), M)) % M;
        ll k = ((ans[2][i] - A) % p[2] + p[2]) % p[2] * ksm(M % p[2], p[2] - 2, p[2]) % p[2];
        printf("%lld ", ((k % mod) * (M % mod) % mod + A % mod) % mod);
    }
}

逆元

多项式求逆是个好东西，基本上所有除了乘法外的东西都要用到求逆。
我们要求

$$AB \equiv 1~mod~x^n$$
假如我们已经求得
$$AB' \equiv 1~mod~x^{\frac{n}{2}}$$
则有
$$B \equiv B'~mod~x^{\frac{n}{2}}$$
把 $B'$移到左边然后平方得到
$$B^2 - 2BB' + B'^2 \equiv 0~mod~x^n$$
$B^2$不好处理，所以同乘以一个A，即
$$B - 2B' + AB'^2 \equiv 0~mod~x^n$$
我们就得到了
$$B \equiv 2B' + AB'^2~mod~x^n$$
于是倍增求即可。

Code

inline void poly_inv(int *a, int *b, int n)
{
    if (n == 1) {
        b[0] = ksm(a[0], mod - 2);
        return;
    }
    poly_inv(a, b, n + 1 >> 1);
    int len = 1;
    while (len < n << 1) len <<= 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) tmp[i] = a[i];
    for (int i = n; i < len; i++) tmp[i] = 0;
    ntt(tmp, len, 1);
    ntt(b, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++)
        b[i] = 1ll * b[i] * (2 - 1ll * b[i] * tmp[i] % mod + mod) % mod;
    ntt(b, len, -1);
    for (int i = n; i < len; i++) b[i] = 0;
}

开方

多项式开方的思路和求逆一样，都是倍增的利用上一次的答案求下一次的。
简单推一下式子吧：

$$B^2 \equiv A~mod~x^n$$
$$B'^2 \equiv A~mod~x^{\frac{n}{2}}$$
$$B^2 - B'^2 \equiv 0~mod~x^{\frac{n}{2}}$$
这里出现了两组解，我们只保留
$$B - B' \equiv 0~mod~x^{\frac{n}{2}}$$
还是套路的平方
$$B^2 - 2BB' + B'^2 \equiv 0~mod~x^n$$
其实 $B^2$就是 $A$
$$A - 2BB' + B'^2 \equiv 0~mod~x^n$$
那么最后 $B$就求出来了
$$B \equiv \frac{A + B'^2}{2B'}~mod~x^n$$

Code

void poly_sqrt(int *a, int *b, int n)
{
    if (n == 1) {
        b[0] = 1; //一般情况下a[0] = 1
        return;
    }
    poly_sqrt(a, b, n + 1 >> 1);
    int len = 1;
    while (len < n << 1) len <<= 1;
    memset(c, 0, sizeof c);
    poly_inv(b, c, n);
    for (int i = 0; i < n; i++) tmp[i] = a[i];
    for (int i = n; i < len; i++) tmp[i] = 0;
    ntt(tmp, len, 1);
    ntt(b, len, 1);
    ntt(c, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++) b[i] = 1ll * (tmp[i] + 1ll * b[i] * b[i] % mod) * c[i] % mod * inv2 % mod;
    ntt(b, len, -1);
    for (int i = n; i < len; i++) b[i] = 0;
}

除法和取模

已经有了求逆，那么多项式除法和取模又是什么？和逆元有什么区别吗？
举个例子：
由小学数学得到

$$\frac{157}{12} = 13, 157 \equiv 1~mod~12$$
然而， $12*13$并不等于 $157$，所以 $157$乘以 $12$的逆元也并不等于 $13$，这就是除法和求逆的区别。
那除法怎么求呢？
把 $157, 12, 13, 1$都看成多项式，我们发现是取模的结果 $1$产生了上述影响。
如果我们把被除数多项式（ $157$）、除数多项式（ $12$）和商多项式（ $13$）都翻转一下，就可以得到
$$21*31=651, 751 - 651 = 100$$
我们发现，此时取模的结果 $1$也被翻转成了100，而100的位数较高，不会产生导致除法和求逆结果不同的影响。
所以，我们只要用 $751$去乘上 $21$的逆元就可以得到 $31$，然后把 $31$翻转回来就得到了 $13$。
什么？你说取模？
你都求出了 $13$，你还不会用 $157-12*13$来求 $1$吗？

Code

inline void poly_div(int *a, int *b, int *d, int *r, int n, int m)
{
    for (int i = 0; i < n; i++) a1[i] = a[n - i - 1];
    for (int i = 0; i < m; i++) b1[i] = b[m - i - 1];
    int l = n - m + 1;
    poly_inv(b1, d, l);
    int len = 1;
    while (len < n + l) len <<= 1;
    ntt(a1, len, 1);
    ntt(d, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++) d[i] = 1ll * a1[i] * d[i] % mod;
    ntt(d, len, -1);
    for (int i = l; i < len; i++) d[i] = 0;
    for (int i = 0; i < l >> 1; i++) swap(d[i], d[l - i - 1]);
    for (int i = 0; i < m; i++) r[i] = b[i];
    for (int i = 0; i < l; i++) b1[i] = d[i];
    for (int i = l; i < m; i++) b1[i] = 0;
    ntt(r, len, 1);
    ntt(b1, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++) r[i] = 1ll * r[i] * b1[i] % mod;
    ntt(r, len, -1);
    for (int i = 0; i < n; i++) r[i] = (a[i] - r[i] + mod) % mod;
}

求ln

exp

这两个不想写了……留坑待填