SDNU 1044 花瓶插花（DP）

花瓶插花题目链接

1044.花瓶插花

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Description

有m朵花和n个花瓶，要把这些花全部插入某些花瓶中，花瓶和花都是有序的，花在花瓶中的先后顺序必须与给定顺序相同，每朵花插入每个花瓶能得到的美观程度都不一定相同，选择一些和花瓶，求插花能得到的最大美观程度。

Input

第一行是两个整数m, n(1 <= m <= n <= 1000)，表示花的数量和花瓶的数量。之后m行，每行n个正整数(<= 100)，这m行中第i行的第j个数字表示第i朵花插入第j个花瓶的美观程度。

Output

一个整数，最大的总美观程度。

Sample Input

Sample Output

Source

Unknown

这道题一看就想到用dfs，一点一点往下搜，但是速度实在是太慢了，因为这个棋盘高达1000 * 1000，一个点一个点搜索必然超时，所以就想到动态保存一下，也就是动态规划

状态转移方程（设矩阵为m 行 n 列）：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + val[i][j], dp[i][j-1]) (j >= i)

dp[i][j] = 0 (j < i)

为什么是这个转移方程呢，坑死我了。。。第一个容易理解

例如：题目给的例子：

3 5

5 9 3 2 4

1 3 2 9 5

4 2 1 3 5

使用状态转移方程更新后dp数组为

5 9 9 9 9

0 8 11 18 18

0 0 9 14 23

（应该能看明白，原理就是更新可以更新的部分，将无用的部分更新成左边的最大值，便于下一行更新时利用）

至于第二个部分dp[i][j] = 0 (j < i)是真的坑人，让我wa了五六次，都绝望了。仔细想一想还是自己太菜了考虑不周全，如果j > i, a[i][j]是不能当作花瓶放花的（想一想为什么）因为在之前已经放了 i-1枝花，放的最紧凑的情况也得是i == j时才能放得下第i枝花，所以需要保证 i >= j，如何实现代码里会提到，很简单，但是如果不注意这一点会出大问题（例如，把题目给的样例输入的左下角数据改成100000 看看会出什么乱子）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[1005][1005];
int dp[1005][1005];
int main()
{
    int m, n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        scanf("%d",&a[i][j]);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
        for(int j = i; j <= n; j ++){ //坑点，j不从1开始遍历，而是j = i时
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1] + a[i][j], dp[i][j - 1]);
        }
    printf("%d\n",dp[m][n]);
    return 0;
}