匈牙利算法 求二分图最大匹配
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX1=5*1e3+1;
const int MAX2=5*1e4+1;
struct Edge
{
int to,next;
}edge[MAX2];
int head[MAX1],tot;
int linker[MAX1],n;
bool used[MAX1];
void read(int &x)
{
x=0;int f=1;char s=getchar();
while (s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while (s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
void init()
{
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void addedge(int u,int v)
{
edge[tot].to=v;
edge[tot].next=head[u];
head[u]=tot++;
}
bool dfs(int u)
{
for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(!used[v])
{
used[v]=1;
if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))
{
linker[v]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int hungary()
{
int res=0;
memset(linker,-1,sizeof(linker));
for(int u=1;u<=n;u++)
{
memset(used,0,sizeof(used));
if(dfs(u)) res++;//return 0;
}
return res;//return 1;
}
int main ()
{
int t,a;
read(t);
while(t--)
{
init();
read(n);
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
read(a);
if(a==1) addedge(k,n+i);
}
}
hungary()==n?printf("Yes\n"):printf("No\n");
}
return 0;
}
匈牙利算法 求二分图最大多重匹配
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX1=1e5+2;
const int MAX2=10+2;
int n,m;
int g[MAX1][MAX2];
int linker[MAX2][MAX1],vlink[MAX2];
bool used[MAX2];
int num[MAX2];
void read(int &x)
{
x=0;int f=1;char s=getchar();
while (s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while (s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
bool dfs(int u)
{
for(int v=1;v<=m;v++)
{
if(g[u][v]&&!used[v])
{
used[v]=1;
if(vlink[v]<num[v])
{
linker[v][++vlink[v]]=u;
return 1;
}
for(int k=1;k<=vlink[v];k++)
{
if(dfs(linker[v][k]))
{
linker[v][k]=u;
return 1;
}
}
}
}
return 0;
}
int hungary()
{
memset(linker,-1,sizeof(linker));
memset(vlink,0,sizeof(vlink));
for(int u=1;u<=n;u++)
{
memset(used,0,sizeof(used));
if(!dfs(u)) return 0;
}
return 1;
}
int main()
{
while (~scanf("%d%d",&n,&m))
{
memset(g,0,sizeof(g));
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=m;i++)
read(g[k][i]);
for(int k=1;k<=m;k++)
read(num[k]);
if (hungary()) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return 0;
}
KM算法 求二分图最大权匹配
#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int MAX=1e2+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,nx,ny;
int linker[MAX],lx[MAX],ly[MAX],slack[MAX];
int visx[MAX],visy[MAX],w[MAX][MAX];
int dfs(int x)
{
visx[x]=1;
for(int y=1;y<=ny;y++)
{
if(visy[y]) continue;
int tmp=lx[x]+ly[y]-w[x][y];
if(tmp==0)
{
visy[y]=1;
if(linker[y]==-1||dfs(linker[y]))
{
linker[y]=x;
return 1;
}
}
else if(slack[y]>tmp) slack[y]=tmp;
}
return 0;
}
int km()
{
int i,j;
memset(linker,-1,sizeof(linker));
memset(ly,0,sizeof(ly));
for(i=1;i<=nx;i++)
for(j=1,lx[i]=-INF;j<=ny;j++)
if(w[i][j]>lx[i]) lx[i]=w[i][j];
for(int x=1;x<=nx;x++)
{
for(i=1;i<=ny;i++) slack[i]=INF;
while(1)
{
memset(visx,0,sizeof(visx));
memset(visy,0,sizeof(visy));
if(dfs(x)) break;
int d=INF;
for(i=1;i<=ny;i++)
if(!visy[i] && d>slack[i]) d=slack[i];
for(i=1;i<=nx;i++)
if(visx[i]) lx[i]-=d;
for(i=1;i<=ny;i++)
if(visy[i]) ly[i]+=d;
else slack[i]-=d;
}
}
int res=0;
for(i=1;i<=ny;i++)
if(linker[i]!=-1) res+=w[linker[i]][i];
return res;
}
int main()
{
int n,m;
char c;
pair<int,int>a[MAX],b[MAX];
int top1,top2;
while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m)
{
top1=top2=0;
memset(w,0,sizeof(w));
for(int k=0;k<n;k++)
{
c=getchar();
for(int i=0;i<m;i++)
{
c=getchar();
if(c=='H')
a[++top1]=make_pair(k,i);
else if(c=='m')
b[++top2]=make_pair(k,i);
}
}
for(int k=1;k<=top1;k++)
for(int i=1;i<=top2;i++)
w[k][i]=-abs(a[k].x-b[i].x)-abs(a[k].y-b[i].y);
nx=top1;ny=top2;
printf("%d\n",-km());
}
return 0;
}
带花树算法 求一般图最大匹配
//非本人代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=505;
const int maxm=maxn*maxn*2;
int n,m,que[maxm],ql,qr,pre[maxn],tim=0;
struct edge
{
int v,nxt;
}e[maxm];
int h[maxn],tot;
int match[maxn],f[maxn],tp[maxn],tic[maxn];
void read(int &x)
{
x=0;int f=1;char s=getchar();
while (s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while (s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
int find(int x)
{
return f[x]==x?f[x]:f[x]=find(f[x]);
}
void init()
{
memset(h,-1,sizeof(h));
tot=0;
}
void add(int u,int v)
{
e[++tot]=(edge){v,h[u]};
h[u]=tot;
e[++tot]=(edge){u,h[v]};
h[v]=tot;
}
int lca(int x,int y)
{
for (++tim;;swap(x,y)) if (x)
{
x=find(x);
if (tic[x]==tim) return x;
else tic[x]=tim,x=pre[match[x]];
}
}
void shrink(int x,int y,int p)
{
while (find(x)!=p)
{
pre[x]=y,y=match[x];
if (tp[y]==2) tp[y]=1,que[++qr]=y;
if (find(x)==x) f[x]=p;
if (find(y)==y) f[y]=p;
x=pre[y];
}
}
bool aug(int s)
{
for (int i=1;i<=n;++i) f[i]=i;
memset(tp,0,sizeof tp);
memset(pre,0,sizeof pre);
tp[que[ql=qr=1]=s]=1; // 1: type A ; 2: type B
while (ql<=qr)
{
int x=que[ql++];
for (int i=h[x];i!=-1;i=e[i].nxt)
{
int v=e[i].v;
if (find(v)==find(x)||tp[v]==2) continue;
if (!tp[v])
{
tp[v]=2,pre[v]=x;
if (!match[v])
{
for (int now=v,last,tmp;now;now=last)
{
last=match[tmp=pre[now]];
match[now]=tmp,match[tmp]=now;
}
return true;
}
tp[match[v]]=1,que[++qr]=match[v];
}
else if (tp[v]==1)
{
int l=lca(x,v);
shrink(x,v,l);
shrink(v,x,l);
}
}
}
return false;
}
int main()
{
read(n),read(m);
init();
for (int i=1;i<=m;++i)
{
int x,y;
read(x);read(y);
add(x,y);
}
int ans=0;
for (int i=1;i<=n;++i) ans+=(!match[i]&&aug(i));//最大匹配个数
printf("%d\n",ans);
for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",match[i]);//match[i]为i的匹配
return 0;
}
一般图最大权匹配（无例题）
//非本人代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//from vfleaking
//自己進行一些進行一些小修改
#define INF INT_MAX
#define MAXN 400
struct edge{
int u,v,w;
edge(){}
edge(int u,int v,int w):u(u),v(v),w(w){}
};
int n,n_x;
edge g[MAXN*2+1][MAXN*2+1];
int lab[MAXN*2+1];
int match[MAXN*2+1],slack[MAXN*2+1],st[MAXN*2+1],pa[MAXN*2+1];
int flower_from[MAXN*2+1][MAXN+1],S[MAXN*2+1],vis[MAXN*2+1];
vector<int> flower[MAXN*2+1];
queue<int> q;
inline int e_delta(const edge &e){ // does not work inside blossoms
return lab[e.u]+lab[e.v]-g[e.u][e.v].w*2;
}
inline void update_slack(int u,int x){
if(!slack[x]||e_delta(g[u][x])<e_delta(g[slack[x]][x]))slack[x]=u;
}
inline void set_slack(int x){
slack[x]=0;
for(int u=1;u<=n;++u)
if(g[u][x].w>0&&st[u]!=x&&S[st[u]]==0)update_slack(u,x);
}
void q_push(int x){
if(x<=n)q.push(x);
else for(size_t i=0;i<flower[x].size();i++)q_push(flower[x][i]);
}
inline void set_st(int x,int b){
st[x]=b;
if(x>n)for(size_t i=0;i<flower[x].size();++i)
set_st(flower[x][i],b);
}
inline int get_pr(int b,int xr){
int pr=find(flower[b].begin(),flower[b].end(),xr)-flower[b].begin();
if(pr%2==1){//檢查他在前一層圖是奇點還是偶點
reverse(flower[b].begin()+1,flower[b].end());
return (int)flower[b].size()-pr;
}else return pr;
}
inline void set_match(int u,int v){
match[u]=g[u][v].v;
if(u>n){
edge e=g[u][v];
int xr=flower_from[u][e.u],pr=get_pr(u,xr);
for(int i=0;i<pr;++i)set_match(flower[u][i],flower[u][i^1]);
set_match(xr,v);
rotate(flower[u].begin(),flower[u].begin()+pr,flower[u].end());
}
}
inline void augment(int u,int v){
for(;;){
int xnv=st[match[u]];
set_match(u,v);
if(!xnv)return;
set_match(xnv,st[pa[xnv]]);
u=st[pa[xnv]],v=xnv;
}
}
inline int get_lca(int u,int v){
static int t=0;
for(++t;u||v;swap(u,v)){
if(u==0)continue;
if(vis[u]==t)return u;
vis[u]=t;//這種方法可以不用清空v陣列
u=st[match[u]];
if(u)u=st[pa[u]];
}
return 0;
}
inline void add_blossom(int u,int lca,int v){
int b=n+1;
while(b<=n_x&&st[b])++b;
if(b>n_x)++n_x;
lab[b]=0,S[b]=0;
match[b]=match[lca];
flower[b].clear();
flower[b].push_back(lca);
for(int x=u,y;x!=lca;x=st[pa[y]])
flower[b].push_back(x),flower[b].push_back(y=st[match[x]]),q_push(y);
reverse(flower[b].begin()+1,flower[b].end());
for(int x=v,y;x!=lca;x=st[pa[y]])
flower[b].push_back(x),flower[b].push_back(y=st[match[x]]),q_push(y);
set_st(b,b);
for(int x=1;x<=n_x;++x)g[b][x].w=g[x][b].w=0;
for(int x=1;x<=n;++x)flower_from[b][x]=0;
for(size_t i=0;i<flower[b].size();++i){
int xs=flower[b][i];
for(int x=1;x<=n_x;++x)
if(g[b][x].w==0||e_delta(g[xs][x])<e_delta(g[b][x]))
g[b][x]=g[xs][x],g[x][b]=g[x][xs];
for(int x=1;x<=n;++x)
if(flower_from[xs][x])flower_from[b][x]=xs;
}
set_slack(b);
}
inline void expand_blossom(int b){ // S[b] == 1
for(size_t i=0;i<flower[b].size();++i)
set_st(flower[b][i],flower[b][i]);
int xr=flower_from[b][g[b][pa[b]].u],pr=get_pr(b,xr);
for(int i=0;i<pr;i+=2){
int xs=flower[b][i],xns=flower[b][i+1];
pa[xs]=g[xns][xs].u;
S[xs]=1,S[xns]=0;
slack[xs]=0,set_slack(xns);
q_push(xns);
}
S[xr]=1,pa[xr]=pa[b];
for(size_t i=pr+1;i<flower[b].size();++i){
int xs=flower[b][i];
S[xs]=-1,set_slack(xs);
}
st[b]=0;
}
inline bool on_found_edge(const edge &e){
int u=st[e.u],v=st[e.v];
if(S[v]==-1){
pa[v]=e.u,S[v]=1;
int nu=st[match[v]];
slack[v]=slack[nu]=0;
S[nu]=0,q_push(nu);
}else if(S[v]==0){
int lca=get_lca(u,v);
if(!lca)return augment(u,v),augment(v,u),true;
else add_blossom(u,lca,v);
}
return false;
}
inline bool matching(){
memset(S+1,-1,sizeof(int)*n_x);
memset(slack+1,0,sizeof(int)*n_x);
q=queue<int>();
for(int x=1;x<=n_x;++x)
if(st[x]==x&&!match[x])pa[x]=0,S[x]=0,q_push(x);
if(q.empty())return false;
for(;;){
while(q.size()){
int u=q.front();q.pop();
if(S[st[u]]==1)continue;
for(int v=1;v<=n;++v)
if(g[u][v].w>0&&st[u]!=st[v]){
if(e_delta(g[u][v])==0){
if(on_found_edge(g[u][v]))return true;
}else update_slack(u,st[v]);
}
}
int d=INF;
for(int b=n+1;b<=n_x;++b)
if(st[b]==b&&S[b]==1)d=min(d,lab[b]/2);
for(int x=1;x<=n_x;++x)
if(st[x]==x&&slack[x]){
if(S[x]==-1)d=min(d,e_delta(g[slack[x]][x]));
else if(S[x]==0)d=min(d,e_delta(g[slack[x]][x])/2);
}
for(int u=1;u<=n;++u){
if(S[st[u]]==0){
if(lab[u]<=d)return 0;
lab[u]-=d;
}else if(S[st[u]]==1)lab[u]+=d;
}
for(int b=n+1;b<=n_x;++b)
if(st[b]==b){
if(S[st[b]]==0)lab[b]+=d*2;
else if(S[st[b]]==1)lab[b]-=d*2;
}
q=queue<int>();
for(int x=1;x<=n_x;++x)
if(st[x]==x&&slack[x]&&st[slack[x]]!=x&&e_delta(g[slack[x]][x])==0)
if(on_found_edge(g[slack[x]][x]))return true;
for(int b=n+1;b<=n_x;++b)
if(st[b]==b&&S[b]==1&&lab[b]==0)expand_blossom(b);
}
return false;
}
inline pair<long long,int> weight_blossom(){
memset(match+1,0,sizeof(int)*n);
n_x=n;
int n_matches=0;
long long tot_weight=0;
for(int u=0;u<=n;++u)st[u]=u,flower[u].clear();
int w_max=0;
for(int u=1;u<=n;++u)
for(int v=1;v<=n;++v){
flower_from[u][v]=(u==v?u:0);
w_max=max(w_max,g[u][v].w);
}
for(int u=1;u<=n;++u)lab[u]=w_max;
while(matching())++n_matches;
for(int u=1;u<=n;++u)
if(match[u]&&match[u]<u)
tot_weight+=g[u][match[u]].w;
return make_pair(tot_weight,n_matches);
}
inline void init_weight_graph(){
for(int u=1;u<=n;++u)
for(int v=1;v<=n;++v)
g[u][v]=edge(u,v,0);
}
int main(){
int m;
scanf("%d%d",&n,&m);
init_weight_graph();
for(int i=0;i<m;++i){
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
g[u][v].w=g[v][u].w=w;
}
printf("%lld\n",weight_blossom().first);
for(int u=1;u<=n;++u)printf("%d ",match[u]);puts("");
return 0;
}
图的匹配定义/性质/方法（转载）
二分图：整个图能被划分为两个点集（X,Y）且在同一点集内的所有点互不相交的图就是二分图。
匹配：在二分子图的边集M中如果M中的每条边的两个端点只有该条边与这两个端点相连，则M称为一个匹配。
匹配边：我们把两个相匹配的点之间的连线称为匹配边。
最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完备匹配：如果有一边的点全都是匹配点，则称这个匹配为完备匹配。
完美匹配：如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。
最小覆盖： 用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。（也就是说每个边至少有一个端点是匹配点）
路径：就是连着的几条边（1->2->3就是一条路径）
最小路径覆盖问题：在有向无环图中，用最少的路径条数（不相交的路径，即不仅不能有重合的边，连重合的点都没有）覆盖掉所有顶点。
最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值．（如果图Ｇ满足二分图条件）可以用二分图匹配来做．
关于二分图带权匹配&最大匹配&完备匹配&完美匹配的区分：
带权匹配：使得该二分图的权值和最大（或最小）的匹配。
最大匹配：使得该二分图边数最多的匹配。
完备匹配：使得点数较小的点集中每个点都被匹配的匹配。
完美匹配：所有点都被匹配的匹配。
可知：完美匹配一定是最大匹配和完备匹配。
定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：最大匹配数 = 最大独立数
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
无权匹配：匈牙利算法
带权匹配：km算法
求二分图的最小匹配：把权值取反，变为负的，再用KM算出最大权匹配，取反则为其最小权匹配