一. 什么是线段树
1. 为什么要使用线段树
其他例子：
2018年注册的用户中消费最高的用户？消费最少的用户？学习时间最长的用户？
某个太空区间天体的数量？
实现的复杂度：
使用数组实现 使用线段树
更新 O(n) O(logn)
查询 O(n) O(logn)
2. 用图展示线段树结构
二. 线段树的基础表示
1. 用数组表示线段树
平衡二叉树： 叶子节点间深度最多相差1
2. 代码框架搭建
新建项目SegmentTree
.
├── SegmentTree.iml
└── src
├── Main.java
└── SegmentTree.java
SegmentTree.java
public class SegmentTree<E> {
private E[] tree;
private E[] data;
public SegmentTree(E[] arr){
data = (E[])new Object[arr.length];
for(int i = 0; i < arr.length; i++){
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[])new Object[4*arr.length]; // 需要4n
}
public int getSize(){
return data.length;
}
public E get(int index){
if(index < 0 || index >= data.length){
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
}
return data[index];
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
private int leftChild(int index){
return 2*index+1;
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
private int rightChild(int index){
return 2*index+2;
}
}
三. 创建线段树
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SegmentTree.java
public class SegmentTree<E> {
private E[] tree;
private E[] data;
private Merger<E> merger;
public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger) { //merger 定义 两个元素怎么融合
this.merger= merger;
data = (E[]) new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
tree = (E[]) new Object[4 * arr.length]; // 需要4n
buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
}
// 在treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
if (l == r) {
tree[treeIndex] = data[l];
return;
}
int leftTreeindex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
int mid = l + (r - l) / 2; // 没有写成 (r+l)/2 是为了防止整型数据过大溢出
buildSegmentTree(leftTreeindex, l, mid);
buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);
tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeindex], tree[rightTreeIndex]);
}
public int getSize() {
return data.length;
}
public E get(int index) {
if (index < 0 || index >= data.length) {
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
}
return data[index];
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
private int leftChild(int index) {
return 2 * index + 1;
}
// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
private int rightChild(int index) {
return 2 * index + 2;
}
@Override
public String toString(){
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append('[');
for(int i = 0; i < tree.length; i++){
if(tree[i] != null){
res.append(tree[i]);
}
else{
res.append("null");
}
if(i != tree.length-1){
res.append(",");
}
}
res.append(']');
return res.toString();
}
}
我们自定义两元素的融合接口， 这样就不局限于相加操作了。 Merger.java
public interface Merger<E> {
E merge(E a, E b);
}
测试: Main.java
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Integer[] nums = {-2, 0, 3, -5, 2, -1};
// SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree <>(nums, new Merger<Integer>(){
// @Override
// public Integer merge(Integer a, Integer b) {
// return a + b;
// }
// });
// 简化, 自定义融合方法
SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree <>(nums, (a, b) -> a+b);
System.out.println(segTree);
}
}
运行结果:
[-3,1,-4,-2,3,-3,-1,-2,0,null,null,-5,2,null,null,null,null,null,null,null,null,null,null,null]
四. 线段树中的区间查询
举例：
我们使用递归来实现查询操作：
SegmentTree.java
...
// 返回区间[queryL, queryR]的值
public E query(int queryL, int queryR) {
if (queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR) {
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
}
return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}
// 在以treeID为根的线段树中[l...r]的范围里， 搜索区间[queryL...queryR]的值
// 也可以将treeIndex和对应的区间封装在一起， 这里将对应的区间作为参数l 和r传入
private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
if (l == queryL && r == queryR) {
return tree[treeIndex];
}
int mid = l + (r - l) / 2;
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if (queryL >= mid + 1) {
return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
} else if (queryR <= mid) {
return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
}
E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);
return merger.merge(leftResult, rightResult);
}
...
测试：Main.java
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Integer[] nums = {-2, 0, 3, -5, 2, -1};
SegmentTree<Integer> segTree = new SegmentTree <>(nums, (a, b) -> a+b);
// 查询
System.out.println(segTree.query(0, 2));
System.out.println(segTree.query(2, 5));
System.out.println(segTree.query(0, 5));
}
}
结果正确:
1
-1
-3
五.Leetcode上线段树相关的问题
给定一个整数数组 nums，求出数组从索引 i 到 j (i ≤ j) 范围内元素的总和，包含 i, j 两点。
示例：
给定 nums = [-2, 0, 3, -5, 2, -1]，求和函数为 sumRange()
sumRange(0, 2) -> 1
sumRange(2, 5) -> -1
sumRange(0, 5) -> -3
说明:
你可以假设数组不可变。
会多次调用 sumRange 方法。
1. 使用之前实现的线段树来解题：
在原先项目中新建NumArray.java
class NumArray {
private SegmentTree<Integer> segmentTree;
public NumArray(int[] nums) {
if(nums.length > 0){
Integer[] data = new Integer[nums.length];
for(int i = 0; i < nums.length; i++){
data[i] = nums[i];
}
segmentTree = new SegmentTree<>(data, (a,b)->a+b);
}
}
public int sumRange(int i, int j) {
if(segmentTree==null){
throw new IllegalArgumentException("segment tree is null");
}
return segmentTree.query(i, j);
}
}
2.不使用线段树来解题
NumArray2.java
public class NumArray2 {
private int[] sum; // sum[i]存储前i个元素的和， sum[0]=0
// sum[i]存储nums[0.....i-1]的和（共i个元素的和）
public NumArray2(int[] nums){
sum = new int[nums.length+1]; //有个偏移
sum[0] = 0;
for(int i = 1; i < sum.length; i++){
sum[i] = sum[i-1] +nums[i-1];
}
}
public int sumRange(int i, int j){
return sum[j+1]-sum[i];
}
}
这个问题没有涉及到数据的更新， 所以不用线段树实现反而更好， 但涉及数据更新，线段树很好的解决方法。
给定一个整数数组 nums，求出数组从索引 i 到 j (i ≤ j) 范围内元素的总和，包含 i, j 两点。
update(i, val) 函数可以通过将下标为 i 的数值更新为 val，从而对数列进行修改。
示例:
Given nums = [1, 3, 5]
sumRange(0, 2) -> 9
update(1, 2)
sumRange(0, 2) -> 8
说明:
数组仅可以在 update 函数下进行修改。
你可以假设 update 函数与 sumRange 函数的调用次数是均匀分布的。
1. 不使用线段树实现
在303号问题NumArray2.java基础上修改
public class NumArray2 {
private int[] sum;
private int[] data; //因为需要updat，所以多准备一个副本
public NumArray2(int[] nums){
data = new int[nums.length];
for(int i =0; i < nums.length; i++){
data[i] = nums[i];
}
sum = new int[nums.length+1];
sum[0] = 0;
for(int i = 1; i < sum.length; i++){
sum[i] = sum[i-1] +nums[i-1];
}
}
public void update(int index, int val){
data[index] = val;
for(int i = index+1; i < sum.length; i++){ // 最index后的sum值有影响
sum[i] = sum[i-1]+data[i-1];
}
}
public int sumRange(int i, int j){
return sum[j+1]-sum[i];
}
}
在leetcode上提交后， 因为计算时间过长失败了。 究其原因是 如果update次数过多， 计算过程会很慢。最慢的情况是每次更新第一个元素，会有O(n)的复杂度。
2.使用线段树实现
先在SegmentTree.java的线段树中加入set方法
...
// 将index位置的值， 更新为e
public void set(int index, E e) {
if (index < 0 || index >= data.length)
throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");
data[index] = e;
set(0, 0, data.length - 1, index, e)
}
// 在treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
if (l == r) {
tree[treeIndex] = e;
return;
}
int mid = l + (r - l) / 2;
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
if (index >= mid + 1) {
set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
}
else{
set(leftTreeIndex, l, mid, index, e);
}
tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]); // 跟新后对应的父节点也要更新
}
...
在303号问题NumArray.java基础上修改:
class NumArray {
private SegmentTree<Integer> segmentTree;
public NumArray(int[] nums) {
if(nums.length > 0){
Integer[] data = new Integer[nums.length];
for(int i = 0; i < nums.length; i++){
data[i] = nums[i];
}
segmentTree = new SegmentTree<>(data, (a,b)->a+b);
}
}
public void update(int index, int val){ // 增加update方法
segmentTree.set(index, val);
}
public int sumRange(int i, int j) {
if(segmentTree==null){
throw new IllegalArgumentException("segment tree is null");
}
return segmentTree.query(i, j);
}
}