请注意,不建议读者对于每道题均编代码,码量极大
T1
Description
给定一个序列,支持区间加与区间乘与区间查询和的操作。
Solution
一道线段树板子题。
我们同样维护线段树的区间信息与懒标记,只不过此时懒标记记录的有两个值,即 与 ,表示该节点已经乘 加 了,而其子节点尚未做过此种操作。
于是,我们可以在 的时间复杂度内解决本题。
T2
Description
给定一个序列,支持区间修改与每次查询在 中最后一个不小于 的位置。
Solution
比较裸的线段树。
每个线段树的节点维护的均为该区间的内的最大值。区间修改的方式不变,对于题目中的这种查询,我们直接从 号节点向下进行搜索。如果该节点所代表的区间被完全包含在查询区间内,那么我们便判断,该区间的最大值是否大于等于 ;如果不是,就直接返回,否则看下它的两个子区间,如果它的右子区间的最大值不小于 ,就贪心地向右搜去寻找更大的 ,否则向左。
于是,本题就可以在 的时间复杂度下解决。
T3
Description
给定一个序列,支持区间查询最大子段和。
Solution
考虑对于一个线段树节点,我们维护什么。
维护三个内容:
① : 从最左边开始连续的一段区间的最大和;
② : 从最右边开始连续的一段区间的最大和;
③ : 维护这个区间的最大子段和;
④ : 维护这个区间各数之和。
显然,①②都符合区间加法,③可以通过其子区间的①②得到。
tree[rt].lmin=max(tree[2*rt].lmin,tree[2*rt].sumv+tree[2*rt+1].lmin)
tree[rt].lmax=max(tree[2*rt].lmin,tree[2*rt].sumv+tree[2*rt+1].lmax)
tree[rt].sumv=tree[2*rt].sumv+tree[2*rt+1].sumv
tree[rt].smax=max(tree[2*rt].smax,tree[2*rt+1].smax,tree[2*rt].rmax+tree[2*rt+1].lmax)
于是,我们便可以在
的时间复杂度内解决本题,如果忽略巨大的常数的话
T4
Description
给定一个序列,支持区间取反(每个数都乘 )和查询最大子段和。
Solution
做法与 基本相同,但是还要多维护几个东西。
① : 从最左边开始连续的一段区间的最小和;
② : 从最右边开始连续的一段区间的最小和;
③ : 维护这个区间的最小子段和;
这三个东西样符合区间加法,上传公式与 基本相同。
若区间乘 ,我们就将该区间的最小子段和与最大子段和乘上 后交换即可。
于是时间复杂度仍为
,如果不考虑巨大无比的常数的话
T5
Description
给定一个序列,支持单点修改与区间查询不能组成的最小的数。
若对于一个区间 能组成是指,能够在该区间中选一些数,它们的和正好等于 。不能组成则相反。
,时限 。
Solution
首先,假设我们目前 这些数都能得到,现在又加入进来一个数 。
若 ,则现在 这些数就都能得到啦;否则,直接输出 。因为,当 时,由于在看到 之前 无法得到,现在 又没有组成有力的贡献,所以 总归无法得到。
于是,我们对于区间中,第 个数二进制的位数为 。我们每次整个扫一遍各个 的值( ,其中 为序列中的最大值),架设对于二进制位数为 的数的最小值为 ,若 已经大于了 ,那么就直接宣布结束并输出 ;否则 加上二进制位数为 的数之和, 的值也同时加 。所以,我们只需要开 个线段树,维护区间最小值与区间和,那么对于询问中的查询某种二进制位数的最小值与和,我们就可以 地快速查询啦。
单点修改并没有产生多大的影响,假设把 变成了 ,那么二进制位数同 的集合中相当于单点减去了 ,二进制位数同 的集合中相当于单点加上了 ,也可以用线段树轻松维护。
所以,时间复杂度为 ,卡常后即可通过本题。
好神仙的题
T6
Description
给定一个序列,要求支持下面三种奇怪的操作:
①区间内所有的数 均变成 ,即不大于 且与 互质的数的数量。
②区间所有的数均变为 ;
③区间查询和。
保证数据随机。
Solution
观察一下几个操作,可以发现:
①貌似不太好搞,②③就是线段树轻松搞定的区间摊与区间查询(别跟我扯珂朵莉树)。
①既然不好搞,我们便随便用个数据上来试试看——比如这个数是 ,那么
可以发现,任何一个数,经过多次做 的操作,终究会让一个数变成 。
那么,对于一个数,最多做多少次 的操作会让它变成 呢?如果这个数是一个奇数,那么最劣情况会将它仅仅减去 ;否则,这个数会除以 。为什么呢?因为若这个数是偶数,那么 均不与它互质,所以这个数就会被除以 。所以,最劣的情况就是,这个数是一个奇数,它轮流地被减一除 ,可以发现变成 的最少操作次数是 级别的。
于是,我们就可以直接用线段树来维护每个区间被修改的次数,如果达到了一定的次数就不管这个区间了,否则暴力修改;另外②③的做法是裸的线段树,这里不再解释。
只需要用线性筛预处理出每个值的 即可。时间复杂度$O()
但是,会存在一种特殊的情况——
所有数都是很坑的数,需要做 次①操作才能归 ;每做 次①操作后,就来一次区间摊,把所有数给搞回去,然后再让你做①操作,还有随时的③询问……
显然,在特殊构造的上述数据中,时间复杂度 飞成 。
但是,需要注意,数据纯随机,出现这种情况的概率不到亿亿亿亿分之一,并不需要担心。
故总时间复杂度为 。