Codeforces191 C. Fools and Roads

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题意：给出一颗树，和K次操作。每次操作给出a,b，代表从a到b的路径上所有边的权值都+1（边权最开始全部为0）。最后依次输出每条边最终的权值

解题思路：

　　由于n非常大，不能暴力搞。于是就有Dalao提出了树链剖分……好像很有道理

　　然而，这是一道树上差分的经典题。于是就在这里介绍一下树上差分吧

　　再理解树上差分之前，先来看一看普通的差分：

　　给出一个全部为0的序列，每次操作给一段区间加上1，求最终序列中每个元素的值。

　　考虑差分——每一次操作$[L, R]$，令差分数组$cf[L]++$，$cf[R+1]--$。最后在统计的时候，我们从头开始扫描依次加上$cf$数组的值，就会依次得到每个元素的值。为什么这样是正确的呢？所谓差分，就是通过对头尾的操作，来完成整个区间的操作。如果差分数组$cf[x]$增加了$k$，就意味着从$x$开始到最后每个元素的值都要加上$k$。减法也是一个道理。因此我在结尾R+1处-1，相当于消除了差分对除此区间以外的元素的印象，因为前面的+1和后面的-1正好互相抵消了。因此最后在统计答案时，依次加上差分数组的值就代表了当前元素的值了。这个方法的应用范围是很广的，例如覆盖问题等等

　　理解了差分以后，树上差分也就是把差分放在了树上。当操作一次a到b之间的路径时，相当于$cf[a]++, cf[b]++, cf[lca(a, b)]-=2$. 此时我们的cf[i]的定义是从节点i到根节点的权值的前缀和，因此当我们操作a,b的路径时，相当于先把a到根的路径上+1，再把b到根的路径上+1，由于LCA到根的路径被重复加了两遍，因此减掉2. 统计的时候也和普通的差分一样，需要从前往后加起来得到当前边的经过次数。由于我们这里cf的数组时倒过来定义的，统计的时候也要从下往上走——在回溯的时候

　　还有一个问题，为什么要把cf的定义反过来呢？为什么不能再LCA的地方+1，两个端点-1呢，统计好像更方便啊？注意，这可不是一颗二叉树。当你在LCA处打一个差分标记的时候，它的意义是它之后的点的权值全部+1，这也就囊括了它的其他子树，而别的子树可能并没有被经历。这也给我们一个提示，当我们要在子树上差分时，可以这样差分。

Code

　　由于这道题是边权而不是点权，常见的做法是先把边权转化为点权，最后统计。很恶心的是这道题由于有边的编号，不得不使用链式前向星存图。而且是无向图，空间开两倍不能忘。a->b和b->a的边的编号恰好是$ (x^1)+2 $的关系。

/*by DennyQi*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b))?(a):(b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b))?(a):(b))
using namespace std;
const int MAXN = 100010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0', c = getchar();
    return x * w;
}
int N,x,y,num_edge,K;
int first[MAXN*2],next[MAXN*2],to[MAXN*2],ans[MAXN*2];
int dep[MAXN],f[MAXN][30],cf[MAXN],val[MAXN];
inline void add(int u, int v){
    to[++num_edge] = v;
    next[num_edge] = first[u];
    first[u] = num_edge;
}
void Dfs(int x, int father, int d){
    dep[x] = d;
    f[x][0] = father;
    for(int i = 1; (1<<i) <= d; ++i){
        f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
    }
    int v;
    for(int i = first[x]; i; i = next[i]){
        v = to[i];
        if(v == father) continue;
        Dfs(v, x, d+1);
    }
}
inline int lca(int a, int b){
    if(dep[a] < dep[b]) swap(a, b);
    for(int i = 25; i >= 0; --i){
        if((dep[a]-(1<<i)) < dep[b]) continue;
        a = f[a][i];
    }
    if(a == b) return a;
    for(int i = 25; i >= 0; --i){
        if(f[a][i] == f[b][i]) continue;
        a = f[a][i];
        b = f[b][i];
    }
    return f[a][0];
}
void GetAns(int x, int father){
    int v;
    for(int i = first[x]; i; i = next[i]){
        v = to[i];
        if(v == father) continue;
        GetAns(v, x);
        val[x] += val[v];
        ans[i] = val[v];
        ans[(i^1)+2] = val[v];
    }
    val[x] += cf[x];
}
int main(){
//    freopen(".in","r",stdin);
    N=r;
    for(int i = 1; i < N; ++i){
        x=r,y=r;
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    Dfs(1, 0, 1);
    K=r; int LCA;
    while(K--){
        x=r,y=r;
        cf[x]++;
        cf[y]++;
        LCA = lca(x, y);
        cf[LCA] -= 2;
    }
    GetAns(1, 0);
    for(int i = 1; i < N; ++i){
        printf("%d ", ans[i<<1]);
    }
    return 0;
}

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