动态规划系列（1）——斐波拉切数列

说起斐波拉切数列，大家肯定知道下面的递归公式，而且可能书本上递归程序部分也举了这个例子。

如果要计算斐波拉切数列中第n个数是什么，我们可能有下面的思考过程，f(n) = f(n-1) + f(n-2)，通过第n个数的前两项来计算，但是前两项有可能也是未知的，因为继续计算前两项的值，这种思路是按照上面的公式比较正常的，即有下面的树结构的计算过程（假设我们计算第7个数）。现在从第7个数往前算的时候，其中包含大量的重复，比如左侧的第5项，在右侧分支也要重新计算一遍，相当于多一个数，计算量就要增加一个倍数，复杂度达到O(2^n)。

经过上面的递归的思想的计算，我们考虑是否可以将重复的部分进行保存，然后直接用。所以我们从头开始计算，而不是从后面递归计算。前俩为0,1，然后从第3个开始，f(3)=f(2)+f(1)，然后依次计算，知道计算出我们所要的那一位。此时的计算复杂度O(n)。

附上代码，第一种为递归方式，第二种为从头到尾的计算，可以看成是从头到尾动态规划的一种方式。

# ---O(n^2)的解法----
# 按照递归的思想求解
def fibonacci_1(n):
    if n < 2:
        return n
    return fibonacci_1(n-1)+fibonacci_1(n-2)

# 递归方式效率非常低，存在非常多的重复计算

# ----O(n)-----
# 从头直接开始算
def fibonacci_2(n):
    if n < 2:
        return n
    beforeOne = 1
    beforeTwo = 0
    for i in range(2,n+1):
        now = beforeOne + beforeTwo
        beforeTwo = beforeOne
        beforeOne = now
    return now