斐波拉切数列 java版本

斐波拉切数列 java版本

试求$Fi{b}_n$
样例

输入：

5
输出：

5

算法1
(暴力递推) O(n)
想要存储他，很多人会想到用一维数组存储+递推。递推初值为$Fi{b}_0=0,Fi{b}_1=1$。递推式为$Fi{b}_n=Fi{b}_{n-1}+Fi{b}_{n-2}$代码也很好实现：

public class Solution {
    
    

    public static void main(String[] args) {
    
    
        Solution solution = new Solution();
        int n = 10;
        int x = solution.fib(n);
        System.out.println(x);
    }

    public int fib(int n) {
    
    
        if (n == 0 || n == 1) {
    
    
            return n;
        }
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
           dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2] ) % 1000000007;
        }
        return dp[n] % 1000000007;
    }
}

算法2
(暴力递推+空间优化) O(n)
可以将上面代码优化一下，$Fi{b}_n$只和$Fi{b}_{n-1}$与$Fi{b}_{n-2}$有关系，所以不用数组存，用字母a,b,c代替即可。代码如下：

public class Solution {
    
    

    public static void main(String[] args) {
    
    
        Solution solution = new Solution();
        int n = 10;
        int x = solution.fib(n);
        System.out.println(x);
    }

    public int fib(int n) {
    
    
        if (n == 0 || n == 1) {
    
    
            return n;
        }
        int a = 0;
        int b = 1;
        int c = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
            c = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c % 1000000007;
    }
}

算法3
(求递推公式) $O(1)$
我慢慢要显露出数竞生本色啦！

其实不难发现，斐波那契就是$a_n=p{a}_{n-1}+q{a}_{n-2}$的特例，不过$a_n=p{a}_{n-1}+q{a}_{n-2}$有点难，我们需要一点点前置知识：

step1:$a_n=p{a}_{n-1}$，这是个等比数列，直接过掉。

解：$a_n=p{a}_{n-1}=p_2{a}_{n-2}=\dots =p_{n-1}{a}_1$
step2:$a_n=p{a}_{n-1}+q$，尝试转化为等比数列。

解：待定系数。令$a_n+t=p(a_{n-1}+t)$解出t即可。

step 3：$a_n=p{a}_{n-1}+q{a}_{n-2}$。

要讲明白特征方程是怎么回事实在是太麻烦了，笔者手写了三页，但最后字迹过于丑陋，不宜展示。

我认为这里写的不错，可以参考。

综上，通项公式为：

借鉴 https://www.acwing.com/solution/content/12476/

代码

class Solution {
    
    
    public int Fibonacci(int n) {
    
    
        double a = (1 + Math.sqrt(5)) / 2;
        double qa = Math.pow(a,n);
        double b = (1 - Math.sqrt(5)) / 2;
        double qb = Math.pow(b,n);
        double res = ( (1 / Math.sqrt(5)) * (qa - qb) % 1000000007);
        return (int)res;
        
    }
}