学习跳跃表的过程中，发现现有的博客文章大部分只是给出了定义、插入删除操作、时间空间复杂度结论，没有清晰的证明。因此结合网易公开课上关于跳跃表的视频（http://open.163.com/movie/2010/12/7/S/M6UTT5U0I_M6V2TTJ7S.html），以及现有博客，整理出跳跃表的逻辑和相关证明。
- 产生动机
- 定义
- 跳跃表高度
- 跳跃表搜索时间复杂度
- 跳跃表空间复杂度
- 跳跃表插入删除时间复杂度
产生动机
我们知道，如果用有序数组进行二分查找（Binary Search），则用时为O（log n）。
但有序数组的问题是：
1.它的容量有限，不能插入比它更多的元素；
2.每次增加一个元素，需要O（n）的时间，这样花费很大
所以我们会选择用链表（Linked-List）来实现数据存储。但链表的问题是，因为只能进行线性搜索，查找耗时O(n)。
因此，我们希望一种存储方式，能够在链表上实现O(logn)的查找时间，当然传统的红黑树和AVL可以实现，但是其形式复杂，维持平衡的代价较大，而跳跃表与上述两者效率相当，但形式相对简单很多。
定义
关于定义部分可以看下网易公开课上的视频（越来纽约地铁就用到了跳跃表的思想。。），更容易理解。跳跃表的性质：
跳跃表由多条链构成（S0，S1，S2 ……，Sh），且满足如下三个条件：
- 每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞
- S0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。
- 每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合
跳跃表高度（期望）
对于每层的每个节点来说，它向上层增加的概率为1/2，因此对于包含n个元素的跳跃表，其第m层的期望节点数为n/(2^m)，顶层元素为1，因此令n/(2^m)=1，可以得到：m=logn，即期望高度h=O（logn）。
跳跃表搜索时间复杂度（期望）
这一部分看了很多博客的介绍，感觉都讲的很清晰，这部分网易公开课讲的更好，因此在这里总结下。（敲公式太麻烦，直接上图吧。。）
注意：在跳跃表中，为了保证对每个元素的搜索效率，理想跳跃表的每一层的节点为均匀分布。
跳跃表的空间复杂度（期望）
因为跳跃表引入了概率的概念，即插入每一个节点时，通过抛硬币（概率为1/2）的方式来决定上一层是否添加该节点，当为正面则添加，然后继续抛硬币，直到抛到反面为止。因此，跳跃表的高度、空间复杂度、时间复杂度、搜索（插入/删除）等都是期望值。
对于每层的期待：第一层n，第二层n/2，第三层n/4，…，直到 n/2^log n=1。所以，总空间需求：
S = n + n/2 + n/2^2 + ... + n/2^log n < n(1 + 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^∞) =2n
因此空间复杂度为O(n)
插入删除时间复杂度（期望）
因为查找的时间复杂度为O（logn），因此插入删除的时间复杂度也为O（logn）。
参考：