Chiaki Sequence Revisited

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Problem Description

Chiaki is interested in an infinite sequence a1,a2,a3,..., which is defined as follows:

$a_n=\begin{cases}1 & n = 1,2 \\ a_{n - a_{n-1}} + a_{n-1 - a_{n-2}} & n \ge 3\end{cases}$

Chiaki would like to know the sum of the first n terms of the sequence, i.e. ∑i=1nai. As this number may be very large, Chiaki is only interested in its remainder modulo (10^9+7).

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T (1≤T≤105), indicating the number of test cases. For each test case:
The first line contains an integer n (1≤n≤1018).

Output

For each test case, output an integer denoting the answer.

Sample Input

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sample Output

1 2 4 6 9 13 17 21 26 32

Source

2018 Multi-University Training Contest 1

大致题意：告诉你数列的递推公式，让你求和……

首先，这种下标上面有前几项的数列，基本上不要去想用矩阵快速幂解决。还是想想规律吧……网上很多什么lowbit的，其实感觉有点误导，毕竟这个lowbit不是树状数组的lowbit，而是重新改编定义的lowbit。规律的话，首先列出前几项：

1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,6,7,8,8,8,8,9,10,10,11,12,12,12,13,14,14,15,16,16,16,16,16,17……

已经写出来了这么多了……我们可以发现，如果不看第一个1，1,3,5,7,9,11,13,15,17都只出现了一次，2,6,10,14都只出现了两次，4,12,20,28都只出现了3次，8,24,40,56都只出现了4次……也就是说二进制下末位的0的个数加一对应了这个数字出现的次数，而且出现次数相同的数字构成等差数列，第i个等差数列的公差是2^i。如果我们能够确定出现的最大数字，那么我们就能够利用等差数列的求和公式计算出总共的和。

于是，我们考虑二分这个最大的数字。有了最大的数字后，同样的，利用上面发现的规律计算总共出现了多少个数字。经过观察可以发现这个总数其实是 $\sum \frac{mid+2^{i-1}}{2^i}*i$ ，log倍增上去就可以求和，之后与n比较即可知道出现的最大数字。经过查资料，我们还可以发现一个更简单的系统自带函数，这个总数其实就是2*mid - __builtin_popcount(mid)，如此O(1)求出和，否则用O(log)的方式还要实现缩小二分范围。

知道最大值之后，就是等差数列就和，首项加末项乘以项数除以二。设t为每个数列的数字个数，n为出现的最大数字，i为出现次数，那么对于一个公差为 $2^i$ 的等差数列，它的和就是 $i*2^{i-1}*t^2$ ，这个t为 $\frac{n+2^{i-1}}{2^i}$ 。最后还会剩下一些位置空的，就用n+1来填满即可。具体见代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL long long

using namespace std;

const int mod = 1e9+7;

int T;
LL n;

int cnt(LL x)
{
    LL ret=0;
    while(x)
    {
        x-=x&-x;
        ret++;
    }
    return ret;
}

LL sum(LL x)
{
    return 2*x-cnt(x);
}

LL power(int x)
{
    return (1LL<<x);
}

LL sqr(LL x)
{
    return x*x%mod;
}

LL calc(LL ans,LL n)
{
    LL m=n,ret=0;n=ans;
    for(LL i=1;i<62;i++)
    {
        LL tmp=(n+power(i-1))/power(i);
        ret+=power(i-1)%mod*sqr(tmp%mod)%mod*i%mod;
    }
    ret+=((m-sum(ans)-1)%mod)*((ans+1)%mod)%mod;
    if (ret>=mod) ret-=mod;
    return ret;
}
int main ()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d",&n);
        LL l=n/2-100,r=n/2+100,mid,ans=0;
        while(l<=r)
        {
            mid=(l+r)>>1;
            if(sum(mid)<n) ans=mid,l=mid+1;
                        else r=mid-1;
        }
        printf("%I64d\n",(calc(ans,n)+1)%mod);
    }
    return 0;
}

HDU 6304 2018 HDU多校第一场 Chiaki Sequence Revisited（二分+倍增规律）

Chiaki Sequence Revisited

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