Luogu P1083 借教室【二分答案/差分】By cellur925

题目描述 Description

在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要

向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。

面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。

我们需要处理接下来n天的借教室信息，其中第i天学校有ri个教室可供租借。共有m份

订单，每份订单用三个正整数描述，分别为dj, sj, tj，表示某租借者需要从第sj天到第tj天租

借教室（包括第sj天和第tj天），每天需要租借dj个教室。

我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提

供dj个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。

借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教

室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申

请人修改订单。这里的无法满足指从第sj天到第tj天中有至少一天剩余的教室数量不足dj个。

现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改

订单。

输入描述 Input Description

第一行包含两个正整数n, m，表示天数和订单的数量。

第二行包含n个正整数，其中第i个数为ri，表示第i天可用于租借的教室数量。

接下来有m行，每行包含三个正整数dj, sj, tj，表示租借的数量，租借开始、结束分别在

第几天。

每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从1开始的整数编号。

输出描述 Output Description

如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 0。否则（订单无法完全满足）

输出两行，第一行输出一个负整数-1，第二行输出需要修改订单的申请人编号。

样例输入 Sample Input

4 3

2 5 4 3

2 1 3

3 2 4

4 2 4

样例输出 Sample Output

-1

【输入输出样例说明】

第

【数据范围】

对于10%的数据，有

对于30%的数据，有

对于 70%的数据，有 $10^5；$

对于 100%的数据，有 $10^6,0 ≤ ri,dj≤ 10^9,1 ≤ sj≤ tj≤ n 。$

NOIP 2012 提高组第二天第二题

本题的正解（之一）是二分。如何思考出的？这道题满足二分单调性。即如果我们能满足k个订单，那么我们一定能满足k-1及更少个数的订单。而k+1及更多的订单则不一定。由此我们也就知道了我们二分的是可满足的订单个数。如果最后l==m证明大家的需求都能满足，否则则不能满足。

同“逛画展”，二分的复杂度是logn，而本题的数据是1e6，那么我们要绞尽脑汁使check函数的复杂度为O(n)甚至更低。

check函数的原理其实就是在判断做mid个订单是否满足。这里我们用前mid个订单来代表判断。如果需求小于供给，则绝对满足。但是这就会用到区间查询稍不留神check函数的复杂度就会飙升至O（n²）。

区间维护的问题我们通常会想到用数据结构/前缀和、差分。本题用线段树貌似是大材小用。借此机会，我正学了一下差分QAQ。

通俗地讲，差分就是当我们要对区间进行区间修改（如加上一个数z）时，这个区间为[l,r]，我们另开一个数组称为差分数组，在这个数组的l位置加上我们的z，在这个数组的r-1位置减上z，再对这个数组进行前缀和，就可以求出修改后的序列。

在本题中的check函数，我们求出在当前条件下的需求，一旦需求大于供给（各天教室个数），则显然不合法，返回0.

code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #define maxn 1000100
 5 
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 
 9 int n,m;
10 ll h[maxn],d[maxn],s[maxn],t[maxn],cop[maxn],need[maxn];
11 
12 bool check(int x)
13 {
14     memset(h,0,sizeof(h));
15     for(int i=1;i<=x;i++)
16      h[s[i]]+=d[i],h[t[i]+1]-=d[i];
17     for(int i=1;i<=n;i++)
18     {
19         need[i]=need[i-1]+h[i];
20         if(need[i]>cop[i]) return 0;
21     }
22     return 1;
23 }
24 
25 int main()
26 {
27     scanf("%d%d",&n,&m);
28     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&cop[i]);
29     for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%lld%lld",&d[i],&s[i],&t[i]);
30     ll l=1,r=m,mid=0;
31     while(l<r)
32     {
33         mid=(l+r)>>1;
34         if(check(mid)) l=mid+1;
35         else r=mid;
36     }
37     if(l==m)
38     {
39         printf("0\n");
40         return 0; 
41     }
42     else printf("-1\n%lld",l);
43     return 0;
44 }

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