优化理论（一）线性优化、组合优化与网络流问题

本节主要学习线性优化问题。线性优化是最简单的一种优化问题。在我们系统地学习凸优化之前，先回顾下线性优化的知识。虽然最优化可以追溯到十分古老的极值问题，但是它成为一门独立的学科是在本世纪40年代末，是在求解一般线性规划问题的单纯形法提出之后。

线性优化问题（Linear Optimization Problems）

目标函数是线性的且等式约束和不等式约束都是线性的：

$$minimize\ c^Tx$$

$$subject\ to\ Gx \preceq h$$

$$Ax=b$$

标准形式

$$minimize\ c^Tx$$

$$subject\ to\ x \succeq 0$$

$$Ax=b$$

通过引入松弛变量(slack varibles)，把不等式约束转化为等式约束，同时把自变量表示为差值的形式：

引入标准形式的一个显著的好处，是可以很方便的判断解是否满足约束。

极点（Extreme Points）

极点是可行域中不能表示为可行域中其他任意两点的凸组合的点。

线性规划问题的可行域是一个多面体，易正明多面体是凸集。因为目标函数是线性的，线性函数是单调的，所以最优可行解一定在极点上。

算法（Algorithm）

• 单纯形法（Simplex Method）
• 内点法（Interior-point Method）
• 椭圆法（Ellipsoid Method）
• 割平面法（Cutting-plane Method）

先说单纯形法

单纯形法（Simplex Method）

因为线性规划问题的解的个数是有限的，所以我们只需要逐个验证极点是否满足约束条件就可以了。

单纯形法的思想是：在所有极点中寻找最优解的时候，用一种最聪明的方式以避免遍历所有极点。该方法非常有效，但是仅限于线性优化问题。

单纯形法的步骤如下：

• 找到一个起始极点
• 移动到更优的极点
• 判断当前解是否最优

组合优化（Combinatorial Optimization）

线性优化问题若要求每个解都是整数，就是整数线性优化问题，通常很难求解。

不过，在特殊的情况下，整数线性优化问题可以退化成它的松弛版本

这要求系数矩阵A是完全幺模矩阵（totally unimodular）,并且b，I,u都是整数。

下面是完全幺模矩阵和幺模矩阵的定义

最短路径问题

先说图的表达方式

这里采用图的关联矩阵的表示。最短路径问题的优化形式是

应用：网络流问题

网络单纯形（Network Simplex Method）

。。。。

线性约束非线性优化（Linear Constrained Nonlinear Optimization）

与线性优化不同，最优解不一定在顶点上。解决方法是：求出每一个驻点，选择最优的那个。

一个连续函数的驻点是指该函数的一阶导数为0的点