综述：
取模运算（“Modulo Operation”）和取余运算（“Complementation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。
取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。
取模运算
定义：
给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：
n = kp + r ；
其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。
乍一看和求在定义上算没什么太大的区别，但是实际大有不同。
与取余运算区别
对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：
1.求 整数商： c = a/b;
2.计算模或者余数： r = a - c*b.
但他们在计算时候两者的不同点只有一个
- 取余运算在计算商值向0方向舍弃小数位
- 取模运算在计算商值向负无穷方向舍弃小数位
同时，也可以这样理解：
- 取余，遵循尽可能让商的绝对值小的原则
- 取模，遵循尽可能让商小的原则
即取余（rem）和取模（mod）在被除数、除数同号时，结果是等同的，但是当a,b异号时会有区别，所以要特别注意异号的情况。
例如：
就 a = 7, b = 4 情况而言
c = 7 / 4；
求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）；
则 7 mod 4 = 3（商 = 1 或 2，1<2，取商=1）； 7 rem 4 = 3（商 = 1 或 2，1<2，取商=1）。
同理
7mod 4 = 1（商 = -1 或 -2，-2<-1，取商=-2）
7 mod -4 = -1（商 = -1或-2，-2<-1，取商=-2）
-7 mod -4 = -3（商 = 1或2，1<2，取商=1）
归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值为正且一致，因此结果一致，但c为负则不同。
另外还有一点小区别：
另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。
编程中模运算常用性质
1.） n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
2.） 运算规则
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
-
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
-
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
-
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
-
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
ps： 前四个很常用。
另附：
-
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
-
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
-
分配律：
(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）
重要定理
-
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
-
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
-
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （13）
经常采用模运算求解的问题（ACM）
（以后会开文章详细说）