codefroces 991F 性质分析

题目分析

由于$n \leq 10^{10}$，所以除了$10^{10}$外，其他数都是9位，所以如果我们要更换表示法，这个新表示法应该要小于等于8位。而$10^{10}$的最简表示法显然也不会超过8位。

考虑表示法里会有几个加号。发现把一个简单数字（即不带乘号和幂号的项）表示为一个简单数字加一个简单数字的形式，位数一定不会减少，因此加号串联的几个项中，最多有一个项是简单数字，又因为表示法不能超过8位，所以最多用2个加号，并且这三项的长度分别是3,3,1。又因为9^9+9^9+9=774840987并没有减少表示法长度，所以加号最多有一个。

接着发现，一个$x$位的简单数字$A$和一个$y$位的简单数字$B$相乘，结果的位数不会大于$x+y$。所以一个项也不能写成$A*B$的形式，因而如果要将$n$更换表示法，其中一定有一个幂次表达（即表示法中一定存在a^b的形式。）

那么我们可以把所有能够被幂次表达，且小于$n$的数及它的最简幂次表达用一个map存一下，这个总共是根号级别的。然后取每一个幂次表达，将其写成C*a^b+D的形式，其中C和D是简单数字或被幂次表达的项，并且$C= \lfloor \frac{n}{a^b} \rfloor$且$D=n \bmod a^b$

这个做法看起来很正确，但是这时候有Lcy发问了，凭什么$C$和$D$就是这样取的呢？能不能把$C$稍微减小一点，使得$C$位数减小，并且$D$位数不变，使得表示法更优呢？

既然$C$位数可以减小，说明至少有两位。a和b至少一位，D至少一位，加上三个符号，正好是8位。由于C减小1后，D要变成$(D+a^b)$，应该还是1位，所以$a^b$一定是一个一位数。我们发现会发生Lcy提问条件的数$n$，都是两位数，根本不需要写成C*a^b+D的形式，所以我们不用考虑这个问题，该做法正确。

代码

注意要用C++17提交，C++11太慢了QAQ

#pragma G++ optimize (2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
typedef long long LL;
LL n,sqn;string ans;
map<LL,string> mp;
int main()
{
    cin>>n;
    sqn=sqrt(n);
    for(LL i=2;i<=sqn;++i) {
        string ii=to_string(i);
        if(!mp.count(i)||mp[i].length()>ii.length()) mp[i]=ii;
        for(LL j=i*i,k=2;j<=n;j*=i,++k) {
            string kl=ii+"^"+to_string(k);
            if(!mp.count(j)||mp[j].length()>kl.length()) mp[j]=kl;
        }
    }
    ans=to_string(n);
    for(map<LL,string>::iterator it=mp.begin();it!=mp.end();++it) {
        string kl;LL x=(*it).first;
        if(n/x!=1) {
            string y=to_string(n/x);
            if(mp.count(n/x)&&mp[n/x].length()<y.length()) kl+=mp[n/x]+"*";
            else kl+=y+"*";
        }
        kl+=(*it).second;
        if(n%x!=0) {
            string y=to_string(n%x);
            if(mp.count(n%x)&&mp[n%x].length()<y.length()) kl+="+"+mp[n%x];
            else kl+="+"+y;
        }
        if(kl.length()<ans.length()) ans=kl;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}