The 2014 ACM-ICPC Asia Xi’an Regional Contest Problem F. Color（二项式反演）

                                                 Problem F. Color

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题意：长度为n的一个连续串让你染色，使得相邻位置的颜色不能一样，且串中恰好一共出现k种颜色，问若是你有m种颜色（m>=k)，一共有多少种染色方法满足给定条件.

我们易推得如果仅仅是要求相邻位置的颜色不一样那么

                                                                                

我们再次设对于恰好出现种颜色的染色方法有种，那么对于易得

                                                                           

我们再次设

                                                                                

那么便可以得到这样的一条等式

                                                                                

对于形如上式的的式子，我们都可以得到以下反演结果

                                                                            

以上都是二项式反演已知的固定反演形式，如果想要了解该等式的证明

可以参考lyf学长的证明

对于14年icpc西安区域赛的的这道题，若是已知这个结论这就是个秒A的水题了，然而今天打重现直接被这道题卡死了

问了问A了的队友，说是感觉要容斥然后猜了一下结论就A了......

emmmm.......

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<limits.h>
#include<string.h>
#include<map>
#include<list>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;

#define inf int(0x3f3f3f3f)
#define mod ll(1e9+7)
#define eps double(1e-6)
#define pi acos(-1.0)
#define lson  root << 1
#define rson  root << 1 | 1

ll n,m,k;

ll c[1000005];

ll inv[1000005];

ll powmod(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }

    return ans;
}

void init()
{
    inv[0]=1;
    for(int i=1; i<=1000001; i++)
        inv[i]=powmod(i,mod-2);
}

void init_c()
{
    c[0]=1;
    for(int i=1; i<=k; i++)
        c[i]=c[i-1]*(k-i+1)%mod*inv[i]%mod;
}

ll C(ll n,ll m)
{
    ll ans=1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        ans=ans*(n-i+1)%mod*inv[i]%mod;
    return ans;
}



int main()
{
    init();
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int t;
    init();
    cin>>t;
    for(int i=1; i<=t; i++)
    {
        cin>>n>>m>>k;
        cout<<"Case #"<<i<<": ";
        init_c();
        ll ans=0;
        ll flag=-1;
        for(int i=k-1; i>=1; i--)
        {
            ans=(ans+flag*i*c[i]%mod*powmod(i-1,n-1)%mod+mod)%mod;
            flag*=-1;
        }
        ans=(ans+k*c[k]*powmod(k-1,n-1))%mod;
        ans=(ans*C(m,k)+mod)%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
}