机器学习中数学(10)——先验概率,后验概率,似然函数和极大似然估计

前言

读论文的时候总是碰到什么先验概率，后验概率，似然，总是搞不懂是什么意思，今天决定集中学习一下，并在此记录。

基本概念

先了解几个基本的概念：
先验概率： 是指根据以往经验和分析得到的概率。
后验概率：事情已经发生，要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小，即执果求因。

基础公式

联合概率公式：$p(x,y)=p(x|y)p(y)=p(y|x)p(x)$ 表示x和y同时发生的概率。
条件概率公式：$p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p(y)}$ 表示y发生的条件下x发生的概率。条件概率是由因求果，及y发生了，导致x发生的概率。如一个人抽烟求他得肺癌的概率。
全概率公式：$p(x)=\sum_{m=1}^{M}p(x|y_m)p(y_m)$, 其中 $\sum_{m=1}^{M}p(y_m) =1$
贝叶斯公式：$p(y_m|x)=\frac{p(x,y_m)}{p(x)}=\frac{p(x|y_m)p(y_m)}{p(x)}=\frac{p(x|y_m)p(y_m)}{\sum_{m=1}^{M}p(y_m)p(x|y_m)}$，贝叶斯公式又称后验概率公式、逆概率公式。贝叶斯公式是执果求因表示已知x发生的条件下求它由y引起的概率。如一个人患了肺癌抽求他抽烟的概率。

一个荔枝

首先我想问一个问题,桌子上如果有一块肉喝一瓶醋,你如果吃了一块肉,然后你觉得是酸的,那你觉得肉里加了醋的概率有多大?你说:80%可能性加了醋.OK,你已经进行了一次后验概率的猜测.没错,就这么简单.

形式化:我们设A为加了醋的概率,B为吃了之后是酸的概率.C为肉变质的概率
，P(A)是一种先验概率，P(C)也是一种先验概率，P(A,B)是联合概率。
一般而言直接使用概率公式计算后验概率会比较困难，所以一般使用贝叶斯公式，将后验概率转换成含有先验概率和条件概率的形式。

似然函数

贝叶斯公式又名后验概率公式，贝叶斯公式就是在求后验概率。后验概率=似然函数*先验概率 / 证据因子，即 $p(y_m|x)=\frac{p(x|y_m)p(y_m)}{p(x)}$, 证据因子$p(x)$（Evidence，也被称为归一化常数）可仅看成一个权值因子，以保证各类别的后验概率总和为1从而满足概率条件。
那么什么是似然函数呢？
在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。
似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。
概率 用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而 似然性 则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。

在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作 $\mathbb{P}(A \mid B)$, $P(A \mid B) = \frac{P(A , B)}{P(B)} \!$利用贝叶斯定理，$P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B)\;P(B)}{P(A)} \!$ 因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数$\mathbb{L}(B \mid A)$，我们估计参数B的可能性。

形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：$\mathbb{L}(B \mid A) = b\mapsto P(A \mid B=b) \!$
注意到这里并不要求似然函数满足归一性：$\sum_{b \in \mathcal{B}}P(A \mid B=b) = 1$。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有α > 0，都可以有似然函数：$L(b \mid A) = \alpha \; P(A \mid B=b) \!$

极大似然估计

例子：

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是pH = 0.5，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示，就是：

$$P(\mbox{HH} \mid p_H = 0.5) = 0.5^2 = 0.25$$
其中H表示正面朝上。

在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有pH 的概率正面朝上，而有1 − pH 的概率反面朝上。这时，条件概率可以改写成似然函数：

$$L(p_H = 0.5 \mid \mbox{HH}) = P(\mbox{HH}\mid p_H = 0.5) =0.25$$
也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时，pH = 0.5 的似然性是0.25（这并不表示当观测到两次正面朝上时pH = 0.5 的概率是0.25）。

如果考虑pH = 0.6，那么似然函数的值也会改变。

$$L(p_H = 0.6 \mid \mbox{HH}) = P(\mbox{HH}\mid p_H = 0.6) =0.36$$
注意到似然函数的值变大了。这说明，如果参数pH 的取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设pH = 0.5时更大。也就是说，参数pH 取成0.6 要比取成0.5 更有说服力，更为“合理”。总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数，如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是最为“合理”的参数值。

在这个例子中，似然函数实际上等于：

$$L(p_H = \theta \mid \mbox{HH}) = P(\mbox{HH}\mid p_H = \theta) =\theta^2， 其中0 \le p_H \le 1$$
如果取pH = 1，那么似然函数达到最大值1。也就是说，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。

类似地，如果观测到的是三次投掷硬币，头两次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函数将会是：

$$L(p_H = \theta \mid \mbox{HHT}) = P(\mbox{HHT}\mid p_H = \theta) =\theta^2(1 - \theta)， 其中T表示反面朝上，0 \le p_H \le 1$$
这时候，似然函数的最大值将会在 $p_H = \frac{2}{3}$的时候取到。也就是说，当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时，估计硬币投掷时正面朝上的概率 $p_H = \frac{2}{3}$是最合理的。
上面的例子其实就是在做最大似然估计， $L(p_H = \theta \mid \mbox{HHT})$越大表示在结果HHT下 $p_H = \theta$的可能性越大，当前结果HHT已经发生，在此结果下取 $p_H = \frac{2}{3}$， $L(p_H = \theta \mid \mbox{HHT})$取得最大值，即表示在此结果 $p_H = \frac{2}{3}$的概率最大。
注意： 似然值并不是概率值，但是和概率是正相关的，似然值越大，表示概率值越大。
关于极大似然的生动解释请参看这篇文章： 机器学习中的数学(9)——极大似然估计最通俗的讲解

参考文章

1. 似然函数的详细分析—-似然函数的本质意义
2. 先验概率、似然函数、后验概率、贝叶斯公式
3. 贝叶斯公式的直观理解(先验概率/后验概率)
4. 先验概率、后验概率与似然估计
5. 机器学习知识点(二十七)先验概率和后验概率理解