理解极大似然估计与最大后验概率估计

概率和统计

概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。

概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。

最大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称 MLE）和最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称 MAP）是很常用的两种参数估计方法

贝叶斯公式

$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$

这里可以把 $P(B)$ 展开， 变为：

$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}$

贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）

假如把 $P(A)$ 设置为车被砸的概率, $P(B)$ 设置为车警报响的概率

假如要求 $P(A|B)$ 的值, 也就是车警报则车被砸了, 想要让这个的概率比较大, 为 1 最好了, 这样会过滤很多不必要的信息.

根据公式:

$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}$

假如 $P(B|\overline{A})P(\overline{A})$ 为 0 时, 则概率值为 1 , 也就是说其他因素不会引起车的警报

假如不要求它为 1, 就是个很大的概率值的话, 直观上可以想到让 $P(A)P(B|A)$ 比较大, 但是首先 $P(A)$ 不会很大, 即汽车被砸的概率本身就很小，则 $P(B|A)P(A)$ 仍然很小，$P(A|B)$ 还是大不起来。 这里 $P(A)$ 即是常说的先验概率，如果A的先验概率很小，就算 $P(B\mid A)$ 较大，可能A的后验概率 $P(A\mid B)$ 还是不会大.

从这个角度思考贝叶斯公式：一个本来就难以发生的事情，就算出现某个证据和他强烈相关，也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关，但发生概率较高的事情。

似然函数

对于一个似然函数 $P(x|\theta )$ :

• 输入有两个: x 表示某一个具体的数据, $\theta$ 表示模型的参数

如果 θ 是已知确定的，x 是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点 x，其出现概率是多少。

如果 x 是已知确定的，θ 是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现 x 这个样本点的概率是多少。

最大似然估计

假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为 θ ）各是多少？

• 这是一个统计问题，解决统计问题需要数据.

于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据 $x_0$ 是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率 θ 是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是 二项分布。

那么，出现实验结果 $x_0$（即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？

$f(x_0,\theta )=(1-\theta )\times \theta \times \theta \times \theta \times \theta \times (1-\theta )\times \theta \times \theta \times \theta \times (1-\theta )={\theta }^7(1-\theta {)}^3=f(\theta )$

注意，这是个只关于 θ 的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出 f(θ) 的图像

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0, 1, 100)
y = (x**7)*(1-x)**3
plt.plot(x, y)
plt.show()

可以看出，在 θ=0.7 时，似然函数取得最大值。

这样，我们已经完成了对 θ 的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。

且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！ 就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信 θ=0.7。

这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。 为此，引入了最大后验概率估计。

最大后验概率估计

• 最大似然估计是求参数 θ, 使似然函数 $P(x_0|\theta )$ 最大 。(在某个 $\theta$ 下可以使结果最可能)

• 最大后验概率估计则是想求 $\theta$ 使 $P(x_0|\theta )P(\theta )$ 最 大 。求得的 $\theta$ 不单单让似然函数大，$\theta$ 自己出现的先验概率也得大.（这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）

MAP其实是在最大化 $P(\theta |x_0)=\frac{P(x_0|\theta )P(\theta )}{P(x_0)}$, 不过因为 $x_0$ 是确定的（即投出的“反正正正正反正正正反”），$P(x_0)$ 是一个已知值，所以去掉了分母 $P(x_0)$ （假设“投10次硬币”是一次实验，实验做了1000次，“反正正正正反正正正反”出现了n次，则 $P(x_0)=n/1000$ 。总之，这是一个可以由数据集得到的值）。

最大化 $P(\theta |x_0)$ 的意义也很明确， $x_0$ 已经出现了，要求 θ 取什么值使 $P(\theta |x_0)$ 最大。顺带一提， $P(\theta |x_0)$ 即后验概率，这就是“最大后验概率估计”名字的由来。

对于投硬币的例子来看，我们认为（”先验地知道“） θ 取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识，例如假设 P(θ) 为均值0.5，方差0.1的高斯函数，如下图：

则 $P(x_0|\theta )P(\theta )$ 的函数图像为：

注意，此时函数取最大值时， θ 取值已向左偏移，不再是0.7。实际上，在 θ=0.558 时函数取得了最大值。即，用最大后验概率估计，得到 θ=0.558

最后，那要怎样才能说服一个贝叶斯派相信 θ=0.7呢？你得多做点实验。。

如果做了1000次实验，其中700次都是正面向上，这时似然函数为:

如果仍然假设 P(θ) 为均值0.5，方差0.1的高斯函数， $P(x_0|\theta )P(\theta )$ 的函数图像为：

在 θ=0.696 处， $P(x_0|\theta )P(\theta )$ 取得最大值。

这样，就算一个考虑了先验概率的贝叶斯派，也不得不承认得把 θ 估计在0.7附近了。

PS. 要是遇上了顽固的贝叶斯派，认为 P(θ=0.5)=1 ，那就没得玩了。。 无论怎么做实验，使用MAP估计出来都是 θ=0.5。这也说明，一个合理的先验概率假设是很重要的。（通常，先验概率能从数据中直接分析得到）

最大似然估计和最大后验概率估计的区别

MAP就是多个作为因子的先验概率P ( θ ) P(\theta)P(θ)。或者，也可以反过来，认为MLE是把先验概率 P(θ) 认为等于1，即认为 θ 是均匀分布。

最大似然估计的一个例子

假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？

很多人马上就有答案了：70%。而其后的理论支撑是什么呢？

我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。

这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的,三十次为黑球事件的概率是P(样本结果|Model)。

如果第一次抽象的结果记为 $x_1$ ,第二次抽样的结果记为 $x_2....$ 那么样本结果为 $(x_1,x_2.....,x_{100})$ 。这样，我们可以得到如下表达式：

P(样本结果|Model)

= $P(x_1,x_2,\dots ,x_{100}|Model)$

= $P(x_1|M)P(x2|M)\dots P(x_{100}|M)$

= $p^{70}(1-p{)}^{30}$.

好的，我们已经有了观察样本结果出现的概率表达式了。那么我们要求的模型的参数，也就是求的式中的p。

那么我们怎么来求这个p呢？

不同的p，直接导致P（样本结果|Model）的不同。

p实际上是有无数多种分布的。如下:

p的分布也可以是如下：

那么问题来了，既然有无数种分布可以选择，极大似然估计应该按照什么原则去选取这个分布呢？

答：采取的方法是让这个样本结果出现的可能性最大，也就是使得p^70(1-p)30值最大，那么我们就可以看成是p的方程，求导即可！

参考链接

一文搞懂极大似然估计