洛谷 P1072 Hankson 的趣味题

　　　　　　洛谷 P1072 Hankson 的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT ( Bio−Tech ，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson 。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1​ 和 c2​ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0​,a1​,b0​,b1​ ，设某未知正整数 x 满足：

1． x 和 a0​ 的最大公约数是 a1​ ；

2． x 和 b0​ 的最小公倍数是 b1​ 。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x 。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个正整数 n ，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0​,a1​,b0​,b1​ ，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0​ 能被 a1​ 整除， b1​ 能被 b0​ 整除。

输出格式：

共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x ，请输出 0 ；

若存在这样的 x ，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入样例#1：  复制

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出样例#1：  复制

6 
2

说明

【说明】

第一组输入数据， x 可以是 9,18,36,72,144,288 ，共有 6 个。

第二组输入数据， x 可以是 48,1776 ，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0​,a1​,b0​,b1​≤10000 且 n ≤ 100 。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0​,a1​,b0​,b1​≤2,000,000,000 且 n ≤ 2000 。

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思路：通过扩张欧几里德定理求解

　　1.gcd(x,a0)=a1  => gcd(x/a1,a0/a1)=1

　　2.x*b0/gcd(x,b0)=b1 => ①x*(b0/gcd*(x,b0))=b1

　　　　　　　　　　　　   ②gcd(x,b1/b0)=1

　　所以，x一定为b1的一个约数，那么直接从1到sqrt(b1)进行枚举，找到符合要求的x即可

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int gcd(int x, int y) {
    int t;
    while(x % y) t = x % y, x = y, y = t;
    return y;
}

int main() {
    int a0, a1, b0, b1;
    int i, j, k, n, x, y, z, sum;
    scanf("%d", &n);
    for(i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d%d%d", &a0, &a1, &b0, &b1);
        x = a0/a1, y = b1/b0, z = (int)sqrt(b1*1.0);
        for(sum = 0, j = 1; j <= z; j++) if(b1%j == 0) {
            if(j%a1==0 && gcd(j/a1, x)==1 && gcd(b1/j,y)==1) sum++;
            if((b1/j)%a1==0 && gcd((b1/j)/a1,x)==1 && gcd(j,y)==1) sum++;
        }
        if(z*z==b1 && z%a1==0 && gcd(z/a1,x)==1 && gcd(z,y)==1) sum--;
        printf("%d\n", sum);
    }
    return 0;
}

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