导读
上一篇文章已经将简单的介绍了条件概率、全概率公式，并且由其二者推导出了我们的主题贝叶斯公式，这一篇文章通过几个实例(从考研复习题目中扒拉出来的)，从题目中更好的理解一下这三者的关系和应用。
回顾
首先简略回顾一下，全概率和贝叶斯。其实这两者是密不可分的，互相之间是一个顺序问题，全概率反过去就是贝叶斯，这类问题只需要区分清楚是知道原因求结果，还是知道结果寻原因就可以了。全概率公式是计算由诸多原因而导致的某件复杂事情发生的概率，而贝叶斯就是在这件复杂的事情已经发生的前提下，去寻找诸多原因中，某一原因发生的概率。
公式定义
全概率公式：
在由n个不相交的Bi事件组成的样本空间S，其中i = 1,2,3,4,......，n 且 P(Bi) > 0，任意事件A发生的概率为 :
贝叶斯公式：
在由n个不相交的Bi事件组成的样本空间S，其中i = 1,2,3,4,......，n 且 P(Bi) > 0，在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率为 :
例题分析
题目1：
从数字1, 2, 3, 4中任取一个数，记为X，再从1——X中任取一个数，记为Y，则P(Y=2)=？
分析：
其实这道题就很明显属于一个复杂的结果，我们用全概率公式的方式来尝试解决一下。
首先设事件P(Y=2)为事件P(A),那么样本空间S就是由1、2、3、4四个数字组成的“完备事件组”，并且在这里是等概事件，所以P(Bi) = 1/4，并且我们让i下标与数字一一对应，也就是P(B1)就是1作为X被选择的对象的概率。此时我们就需要确定P(A|Bi)的值了：
当X = 1：从1当中选出2的概率很明显为0，所以P(A|B1) = 0;
当X = 2：从1和2当中选出2的概率为1/2，所以P(A|B2) = 1/2；
当X = 3：从1、2、3当中选出2的概率为1/3，所以P(A|B3) = 1/3;
当X = 4：从1、2、3、4当中选出2的概率为1/4，所以P(A|B4) = 1/4;
接下来我们就可以利用全概率公式求得
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) +P(B3)P(A|B3) +P(B4)P(A|B4)
==>P(A) = 0 + (1/4)*(1/2) + (1/4)*(1/3) + (1/4)(1/4) = 13/48
==>P(Y=2) = 13/48。
题目2：
12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率。
分析：
读完题目后，最关键的话就是“在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品”，很明显这是一个已经发生了的事件，是一个结果，我们需要去寻因，所以使用贝叶斯来计算没有问题。那么接下来就是把题目中的描述与公式进行意义匹配了，首先来看这个已经发生的结果，我们设为P(A)，在贝叶斯公式当中，P(A)表示的就是那个全概率事件了，样本空间S就是取出一件产品后再取两件产品，这时候有两种情况：
情况1：
第一件取出的产品是正品，那么剩下的11件产品中有4件次品，7件正品。我们设这种情况的事件为P(A1)那么任取两件为正品的概率就是：
P(A1) = P(第一次是正品)P(剩下的11件中任取两个正品) = P(第一次是正品)（(7件正品中选两件) / (11件中取两件) )
==>P(A1) = (8/12)*( C(2,7)/C(2,11) ) = (2/3)*((7*6)/(11*10)) = 14/55；
注：C(n,m)，其中n为上标，m为下标。代表数学中排列组合的情况，输入不变，以这种形式表示。
情况2：
第一件取出的产品是次品，那么剩下的11件产品中有3件次品，8件正品。我们设这种情况的事件为P(A2)那么任取两件为正品的概率就是：
P(A2) = P(第一次是次品)P(剩下的11件中任取两个正品) = P(第一次是次品)（(8件正品中选两件) / (11件中取两件) )
==>P(A2) = (4/12)*( C(2,8)/C(2,11)) = (1/3)*((8*7)/(11*10)) = 28/165；
所以事件P(A) = P(A1) + P(A2) = 16/33。
结果已经有了，那么所求的是什么呢？文字描述就是P(第一次取得是次品 | 在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品)<这里我们假设第一次取得次品得事件为“B次”，那么用公式表示就是P(B次|A)。
根据贝叶斯公式以及全概率公式
P(B次|A) = P(A|B次)P(B次) / P(A)
其中P(A) = 21/55，P(B次) = 1/3，P(A|B次) = P(A2)/P(第一次是次品) = 28/55
==> P(P(B次|A)) = ((28/55)*(1/3)) / (16/33) = 2/5。
总结
牢记全概率和贝叶斯的定义，结合实例理解他们各自的含义，这类问题通常就是寻找样本空间，完备事件组，搞清楚谁是原因，谁是结果，解决起来也就得心应手了。