【博弈论】Day 10 提高组模拟C组 T1 石子游戏

题目大意

给定$n$堆石头，每次可以最多可以取走与该堆石子互质个数量的石子，现两人都以最优策略进行，问谁能获胜

解题思路

首先这道题不存在平局，且都是以最优策略进行的，这类问题我么称为，$NIM$（尼玛）博弈问题，我们先来看一看该问题的原型

给定$n$件物品，每次可以取走若干件，但不能不取，问先手能否获胜！

这就是$NIM$博弈问题的原型，$NIM$博弈有一个定理，那就是

当先手必胜时，当且仅当$a_1\ \ xor\ \ a_2\ \ xor\ \ a_3……xor\ \ a_{n-1}\ \ xor\ \ a_n\neq 0$

反之亦然

但是这道题限制了我们最多只能取与其互质的个数，所以就引入了一个新的东西，$SG$（傻狗）函数，$SG$函数可以解决该问题的限制因素，那么具体怎么构建呢？看下面：

设$SG(x)$表示面对有$x$个石头的堆时能取走的个数

若$x$为合数时，得到$SG(x)=SG(x最小的质因子）$
若$x$为质数时，得到$SG(x)=max\{SG(i)\}+1(i=1..x-1)$

接下来，我们可以筛一波素数，在筛素数的过程中计算出每个数的最小质因子，然后令所有石子数变成其对应的$SG$函数，就可以求解了

代码

#include<cstdio>
#define N 1000005
#define Il inline
#define re register
#define max(a,b) a>b?a:b
using namespace std;int prime[N],sg[N],ans,t,n,a;
Il void Make_sg()
{
    prime[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    if(!prime[i])
    {
        prime[i]=i;
        for(int j=i;j<N;j+=i) if(!prime[j]) prime[j]=i;//筛质因数，同时标记每个数的最小质因子
    }
    int maxn=0;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        if(prime[i]==i) sg[i]=maxn+1;
        else sg[i]=sg[prime[i]];
        maxn=max(maxn,sg[i]);//用maxn来维护最大的SG
    }
}
int main()
{
    Make_sg();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);ans=0;
        for(re int i=1;i<=n;i++) 
        scanf("%d",&a),ans^=sg[a];//NIM博弈定理
        if(ans) puts("Alice");else puts("Bob");//输出
    }
}

后记

记得当年东莞市赛有一道题，给定$n$堆物品，每次可以取走一堆或其中的一部分，给定先手的人，问谁能赢？

其实这一道题也是一个$NIM$博弈问题，只不过其的$a_i$均为1，所以只要谁先手谁就能赢，这也是一个简单的$NIM$博弈问题的应用

该算法时间复杂度为：$O(1e6 log log 1e6+tn)\approx O(N+tn)$