龙贝格求积算法

问题描述

算法介绍

龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。

算法过程

算法实现思想

可定义一个二维数组保存Tn,Sn,Cn,Rn,开始时可以预处理计算到T16，再更新数组（计算出R1、R2），如果|R2 -R1|<误差限，则输出R2，否则继续更新数组计算R3，重复上述步骤如果满足条件则终止程序并输出结果。

算法实现

#include <iostream>
#include <iomanip>  //流控制头文件
#include <math.h>

using namespace std;

//定义误差限
double deviation;
//保存龙贝格计算的系数
double ratio[3][2] = {{4.0/3,1.0/3},{16.0/15,1.0/15},{64.0/63,1.0/63}};
//保存生成的节点横坐标
double dataX[1000];
//保存生成的节点纵坐标
double dataY[1000];
//保存计算出的数据
double table[100][100] = {0};
//定义一个数学函数
double function(double x);
//分割区间
void devide(double a,double b,int N);
//复化梯形求积
double getIntegralValue(double a,double b,int N);
//计算数据并保存在表格中
void savaToTable(double a,double b);
//更新table表格,并返回结果
double updateTable(double a,double b);
//输出table
void print();

int main()
{
    double a, b;
    cout<<"请输入积分的区间:";
    cin>>a;
    cin>>b;
    cout<<"请输入误差限:";
    cin>>deviation;
    double result = updateTable(a,b);
    print();
    cout<<"the result is:"<<result<<endl;
    return 0;
}
//定义一个数学函数
double function(double x)
{
    return sin(x)/x;
}
//分割区间
void devide(double a,double b,int N)
{
    double x = a;
    double dX = (b - a) /(N) ;
    //x=0时，特殊处理
    dataX[0] = x;
    dataY[0] = 1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        x = a + i * dX;
        dataX[i] = x;
        dataY[i] = function(x);
    }
}
//复化梯形求积
double getIntegralValue(double a,double b,int N)
{
    devide(a,b,N);
    double sum = 0;
    //求2*f(xk)的总和，1<= k <= n-1
    for(int i=1;i<=N-1;i++)
    {
        sum += 2*dataY[i];
    }
    double value =  0.5* ((b-a)/N)*(dataY[0] + sum + dataY[N]);
    return value;
}
//计算数据并保存在表格中
void savaToTable(double a,double b)
{
    for(int i =0;i<=4;i++)
    {
        //更新TK
        table[i][0] = getIntegralValue(a,b,pow(2,i));
    }
    //进行计算Sk,Ck,Rk
    //i代表列，j代表行
    int k = 0;
    for(int i=0;i<3;i++)
    {
        for(int j=i;j<4;j++)
        {
            double calcValue = table[j+1][i]*ratio[k][0] - table[j][i]*ratio[k][1];
            table[j+1][i+1] = calcValue;
        }
        //进行下一列计算
        k++;
    }
}
//更新table表格,并返回结果
double updateTable(double a,double b)
{
    savaToTable(a,b);
    //如果误差限满足要求则返回
    if(table[4][3] - table[3][3] <= deviation)
    {
        return table[4][3];
    }
    //如果误差限不满足要求，则继续更新table表
    else{
        //i代表行，j代表列
        for(int i=5;  ;i++)
        {
            int k=0;
            //更新table[i][0]
            table[i][0] = getIntegralValue(a,b,pow(2,i));
            for(int j = 0;j<3;j++)
            {
                table[i][j+1] = table[i][j]*ratio[k][0] - table[i-1][j]*ratio[k][0];
                k++;
            }
            if(table[i][3] - table[i-1][3] <=deviation )
            {
                return table[i][3];
            }
        }
    }
}
//输出table
void print()
{
    cout<<"------------------------------------------------------------------"<<endl;
    cout<<"k "<<"   T     "<<"    S     "<<"   C     "<<"    R    "<<endl;
    for(int i=0;i<=4;i++)
    {
        cout<<i<<" ";
        for(int j =0 ;j<=i ;j++)
        {
            if(j <= 3)
            {
                cout.setf(ios::showpoint);
                cout<<setprecision(6)<<table[i][j]<<" ";
            }
        }
        cout<<endl;
    }
}

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