【BZOJ3156】防御准备（动态规划，斜率优化）

题面

BZOJ

题解

从右往左好烦啊，直接$reverse$一下再看题。
设$f[i]$表示第$i$个位置强制建立检查站时，前面都满足条件的最小代价
$f[i]=min(f[j]+sum[i-j-1])+A[i]$
即枚举上一个检查站建立的位置。
假设存在$k,j$满足$k<j$，并且$j$的转移优于$k$的转移。
那么$f[j]+sum[i-j-1]<f[k]+sum[i-k-1]$
因为$sum$这个和$i,j,k$有关，所以把它拆分一下，变成之与$i$以及只与$j$相关的式子
$sum[i-j-1]=\sum_{k=1}^{i-j-1}k=sum[i-1]-sum[j]-(i-j-1)*j$
然后再放回到上面的不等式。
即$f[j]-sum[j]-(i-j-1)*j\lt f[k]-sum[k]-(i-k-1)*k$
按照是否和$i$有关对于式子分类
$(f[j]-sum[j]+j^2+j)-(f[k]-sum[k]+k^2+k)\lt (j-k)*i$
令$g[i]=f[i]-sum[i]+i^2+i$
直接除过去

$$i\gt \frac{g[j]-g[k]}{j-k}$$
因为 $i$单增，所以可以利用单调队列来完成斜率优化。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 1111111
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
ll f[MAX],s[MAX];
int n,a[MAX];
int Q[MAX],h,t;
double Slope(int i,int j){return ((f[i]-s[i]+1.0*i*i+i)-(f[j]-s[j]+1.0*j*j+j))/(i-j);}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    reverse(&a[1],&a[n+1]);
    for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=s[i-1]+i;
    /*
    for(int i=2;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<i;++j)
            f[i]=min(f[i],f[j]+s[i-1]-s[j]-j*(i-j-1)+a[i]);
    */
    Q[h=t=1]=1;f[1]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        while(h<t&&Slope(Q[h],Q[h+1])<=i)++h;
        int j=Q[h];f[i]=f[j]+s[i-1]-s[j]-j*(i-j-1)+a[i];
        while(h<t&&Slope(Q[t],Q[t-1])>=Slope(Q[t-1],i))--t;
        Q[++t]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)f[n]=min(f[n],f[i]+s[n-i]);
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}