【BZOJ3437】小P的牧场（动态规划，斜率优化）

题面

BZOJ

题解

考虑暴力$dp$，设$f[i]$表示强制在$i$处建立控制站的并控制$[1..i]$的最小代价。
很显然，枚举上一个控制站的位置$j$
$f[i]=min(f[j]+Calc(i,j)+a[i])$，其中$Calc(i,j)$表示$i,j$之间被$i$控制的位置产生的贡献。
这个可以用前缀和优化做到$O(1)$计算$Calc$
预处理$s1[i]=\sum b[i],s2[i]=\sum (n-i+1)*b[i]$
那么$Calc(i,j)=s2[i]-s2[j]-(s1[i]-s1[j])*(n-i+1)$
考虑两个位置$j,k$，满足$k\lt j$，并且$k$的转移劣于$j$
那么
$f[k]+Calc(i,k)\gt f[j]+Calc(i,j)$
拆开之后是：
$f[k]-s2[k]+s1[k]*(n-i+1)\gt f[j]-s2[j]+s1[j]*(n-i+1)$
令$g[i]=f[i]-s2[i]+s1[i]*(n+1)$
将所有项按照是否与$i$相关分类，可以得到
$(g[k]-g[j])\gt (s1[k]-s1[j])*i$
因为$k<j$，所以$s1[k]<s1[j]$，除过去要变号

$$i>\frac{g[k]-g[j]}{s1[k]-s1[j]}$$
妥妥的斜率优化，因为 $i$单增，可以单调队列解决。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 1000100
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,a[MAX],b[MAX];
int Q[MAX],h,t;
ll f[MAX],s1[MAX],s2[MAX];
ll calc(int i,int j){return f[j]+s2[i]-s2[j]-(s1[i]-s1[j])*(n-i+1)+a[i];}
double Slope(int j,int k)
{
    double gj=f[j]-s2[j]+1.0*s1[j]*(n+1);
    double gk=f[k]-s2[k]+1.0*s1[k]*(n+1);
    return 1.0*(gj-gk)/(s1[j]-s1[k]);
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)s1[i]=s1[i-1]+b[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)s2[i]=s2[i-1]+1ll*(n-i+1)*b[i];
    Q[h=t=1]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(h<t&&Slope(Q[h],Q[h+1])<=i)++h;
        int j=Q[h];f[i]=calc(i,j);
        while(h<t&&Slope(Q[t],Q[t-1])>=Slope(Q[t-1],i))--t;
        Q[++t]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
}