小护士读书笔记系列之《深入理解计算机系统》第二章信息的表示和处理（三）

欢迎来到小护士读书笔记系列之《深入理解计算机系统》第二章信息的表示和处理（三）。上回，小护士讲到了整数是如何在计算机中表示为无符号数和有符号数的，而这次小护士将说明计算机如何做加减乘除。

2.3.1 无符号数加法

无符号数加法跟普通数学运算一样，也是 $1+1=2$ 。唯一不同的地方是无符号数做加法时，如果结果值太大，超出位数最大表示范围，就会溢出。例如：

9+12 = [1001] + [1100]
  21 = [10101]

假设仅用4位表示一个数，则对结果值进行截断。可得，
   5 = [0101]

快速小技巧：21 mod 16 = 21 mod $2^4$ = 5

4次幂对应4位数表示，2为底对应二进制。

如何检测是否溢出？

如果5 < 9 || 5 < 12 == true则为溢出。

2.3.2 补码加法

补码加法跟无符号数加法差不多，也是遵循普通数学运算逻辑，但由于补码支持负数，因此也会有 $-1+(-1) = 2$ 。
同样，补码加法也会溢出，但分为两种：

正溢出：补码的正数相加溢出
负溢出：补码的负数相加溢出

为了方便大家理解，直接给出表格说明补码如何做加法：

x	y	x+y	截断值
-8 [1000]	-5 [1011]	-13 [10011]	3 [0011]
-8 [1000]	-8 [1000]	-16 [10000]	0 [0000]
-8 [1000]	5 [0101]	-3 [11101]	-3 [1101]
2 [0010]	5 [0101]	7 [00111]	7 [0111]
5 [0101]	5 [0101]	10 [01010]	-6 [1010]

补码正负溢出原理：
令 $s=x+y$ ，当且仅当 $x>0$ ， $y>0$ ，但 $s<=0$ 时，计算 $s$ 发生了正溢出。当且仅当 $x<0$ ， $y<0$ ，但 $s>=0$ 时，计算 $s$ 发生了负溢出。

2.3.3 补码的非（难懂非重点，可以忽略）

加法逆元听说过吗，例如 $x+(-x)=0$ ，此时 $-x$ 就是 $x$ 的加法逆元。
对于无符号数来说，在四位表示一个数的情况下， $9+7=16$ ，截断后得 $0$ ，此时 $7$ 是 $9$ 的加法逆元。
对于补码来说，同理可得， $-9-7=-16$ ，截断后得0。

2.3.4~2.3.5 无符号乘法与补码乘法

还是直接给出表格展示，比较容易理解。以3位表示一个数：

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模式	x	y	x*y	截断值
无符号	5 [101]	3 [011]	15 [001111]	7 [111]
补码	-3 [101]	3 [011]	-9 [110111]	-1 [111]


无符号	4 [100]	7 [111]	28 [011100]	4 [100]
补码	-4 [100]	-1 [111]	4 [000100]	-4 [100]


无符号	3 [011]	3 [011]	9 [001001]	1 [001]
补码	3 [011]	3 [011]	9 [001001]	1 [001]

2.3.6~2.3.7 乘以常数，除以 2 的幂（计算优化）

乘法的本质就是加法。例如， $3*4=12$ ；相当于 $3+3+3+3=12$ 。
对于计算机来说，也是一样的，把 3 累加四次得出 12。

但是搞计算机科学的那些教授很厉害，发明了左移操作符<<。
想要得出 $3*4=12$ ，很简单。
$3*4=3*2^2=3<<2$

那如果是 $3*5$ 呢？对于这种奇数相乘的情况，书本没介绍，只是一笔带过说这个优化不优化完全看编译器心情。:)

大多数编译器只在需要少量移位、加法和减法就足够的时候才使用这种优化。

书中介绍了形式A和形式B的计算方式。但小护士觉得没太大必要去死记这些优化公式，毕竟在芯片实现上就是完全两码事，只是理论上可以用数学的方式来优化计算，减少计算次数。

作为读书笔记，小护士还是觉得要写一下这两个雕虫小技：

例子， $x*14$ ：
因为 $14=2^3+2^2+2^1=2^4-2^1$
所以 $x*4=(x<<3)+(x<<2)+(x<<1)=(x<<4)-(x<<1)$

书中关于用除以2的幂来优化除法的声明：

除以2的幂可以通过逻辑或算术右移来实现。这也正是为什么大多数机器上提供这两种类型的右移。不幸的是，这种方法不能推广到除以任意常数。同乘法不同，我们不能用除以2的幂的除法来表示除以任意常数 K 的除法。

除法的本质不是减法。除以2的幂的优化方法还有技术细节要死记，但小护士建议不要这样做，那些除以2的幂的补码除法会出现向下舍入和向上舍入的若干问题。因为这里不是重点，所以，建议先跳过，毕竟看这本书的目的还是在于理解整体知识，而不是死记局部知识。而且重头戏是在后面的章节，没必要花大量时间放在第二章的细节理解上。

下篇预告： 2.4 浮点数

浮点数是个很特殊的数字，这东西与 IEEE（电气和电子工程师协会）有着深厚的联系。当年为了制定这个浮点数标准，科学家们互怼了很久，里面的感人故事绝对可以拍成电影。