CodeForces 70 E.Information Reform（树形DP+Floyd）

Description

给出一棵$n$个节点的树，边权均为$1$，要求在其中一些点建立信息中转站，距离中转站$len$的点收到信息的代价为$d_{len}$，设置一个中转站的代价是$K$，问如何设置可以使得总代价最小

Input

第一行两个整数$n,K$表示点数和设置一个中转站的代价，之后输入$n$个整数$d_1,...,d_n$表示不同距离接受信息的代价，最后输入$n-1$条树边

$(1\le n\le 180,1\le K\le 10^5,0\le d_i\le 10^5,d_i\le d_{i+1})$

Output

输出最小代价以及最小代价下每点获取信息的中转站位置

Sample Input

8 10
2 5 9 11 15 19 20
1 4
1 3
1 7
4 6
2 8
2 3
3 5

Sample Output

38
3 3 3 4 3 4 3 3

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Solution

以$dp[u][i]$表示在$i$点建立一个中转站之后$u$点以及子树得到信息的代价最小值，令$ans[u]$表示使得$dp[u][i]$最小的$i$，首先跑遍最短路得到任意两点距离最小值$dis$，那么在不考虑$u$子树时有$dp[u][i]=d[dis[u][i]]+K$，之后考虑$u$儿子节点$v$，那么对于$v$而言，要么从$ans[v]$获取信息，代价为$dp[v][ans[v]]$，要么从$i$获取信息，这样的话省去了多建立一个中转站的代价，此时代价为$dp[v][i]-K$，两者选较小值累加到$dp[u][i]$中，在求出所有$dp[u][i]$后即得到$ans[u]$，最后$dp[1][ans[1]]$即为最小代价和，具体方案只需比较$dp[v][ans[v]]$和$dp[v][i]-K$的大小就可以知道$v$点从哪一点获取的信息

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=185;
int n,K,d[maxn],dis[maxn][maxn],m[maxn][maxn],dp[maxn][maxn],ans[maxn],path[maxn];
void dfs(int u,int fa)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)dp[u][i]=d[dis[u][i]]+K;
    for(int v=1;v<=n;v++)
        if(m[u][v]&&v!=fa)
        {
            dfs(v,u);
            for(int i=1;i<=n;i++)dp[u][i]+=min(dp[v][ans[v]],dp[v][i]-K);
        }
    ans[u]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(dp[u][i]<dp[u][ans[u]])ans[u]=i;
}
void output(int u,int fa,int i)
{
    path[u]=i;
    for(int v=1;v<=n;v++)
        if(m[u][v]&&v!=fa)
        {
            if(dp[v][ans[v]]<dp[v][i]-K)output(v,u,ans[v]);
            else output(v,u,i);
        }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j)dis[i][j]=INF;
            else dis[i][j]=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        m[u][v]=m[v][u]=1;
        dis[u][v]=dis[v][u]=1;
    }
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    dfs(1,0);
    printf("%d\n",dp[1][ans[1]]);
    output(1,0,ans[1]);
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d%c",path[i],i==n?'\n':' ');
    return 0;
}