5110: [CodePlus2017]Yazid 的新生舞会 树状数组

Description
Yazid有一个长度为n的序列A，下标从1至n。显然地，这个序列共有n(n+1)/2个子区间。对于任意一个子区间[l,r]，如果该子区间内的众数在该子区间的出现次数严格大于(r?l+1)/2（即该子区间长度的一半），那么Yazid就说这个子区间是”新生舞会的”。所谓众数，即为该子区间内出现次数最多的数。特别地，如果出现次数最多的数有多个，我们规定值最小的数为众数。现在，Yazid想知道，共有多少个子区间是”新生舞会的”

题解：

好题啊！考虑暴力算法：枚举哪个数作为众数对答案产生贡献，一个区间$[l+1,r]$能产生贡献当且仅当$2\times s_r-r>2\times s_l-l$，其中$s_i$表示到第$i$位，当前枚举的数的出现次数，我们是可以用一个数据结构维护的，时间复杂度为$O(n^2logn)$。考虑优化，假设当前枚举的数出现了$k$次，那么会将整个序列分为$k+1$段，其中每一段中的$2\times s_i-i$是一个递减的等差数列，而且区间中的任意两点是不会有贡献的，所以这一段的贡献是连续的一段数，设$2\times s_i-i$的出现次数为$a_i$，我们可以用树状数组维护$a_i$的前缀和的前缀和，那么因为要支持单点查询与区间修改，所以还要差分。那我们应该如何维护$a_i$的前缀和的前缀和呢？我们注意到区间的$2\times s_i-i$是连续的一段，所以每个$a_i$的前缀和的前缀和加上的值是不一样的，实际上每个点加上的是一个等差数列求和，也就是一个二次函数，所以我们可以用树状数组维护二次项的系数、一次项的系数以及常数项。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=500010;
const int inf=2147483647;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,a[Maxn],Next[Maxn],pos[Maxn],st[Maxn];
LL sa[Maxn<<1],sb[Maxn<<1],sc[Maxn<<1];
LL ans=0;
void add(int x,LL op)
{
    LL a=(LL)1,b=(LL)3-2*x,c=(LL)x*x-3*x+2;
    x+=n+1;
    for(;x<=(n<<1)+1;x+=(x&-x))sa[x]+=a*op,sb[x]+=b*op,sc[x]+=c*op;
}
void Add(int l,int r,LL op){add(l,op),add(r+1,-op);}
void Query(int x,LL op)
{
    LL X=x;
    x+=n+1;
    LL a=0,b=0,c=0;
    for(;x;x-=(x&-x))a+=sa[x],b+=sb[x],c+=sc[x];
    ans+=op*(a*X*X+b*X+c);
}
int main()
{
    n=read();read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read();
        if(!pos[a[i]])st[a[i]]=i;
        else Next[pos[a[i]]]=i;
        pos[a[i]]=i;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    if(st[i])
    {
        Add(-(st[i]-1),0,1);
        int s=0;
        for(int j=st[i];j;j=Next[j])
        {
            s++;
            int t;
            if(!Next[j])t=n;
            else t=Next[j]-1;
            Query(2*s-j-1,1);
            Query(2*s-t-2,-1);
            Add(2*s-t,2*s-j,1);
        }
        /********************/
        Add(-(st[i]-1),0,-1);
        s=0;
        for(int j=st[i];j;j=Next[j])
        {
            s++;
            int t;
            if(!Next[j])t=n;
            else t=Next[j]-1;
            Add(2*s-t,2*s-j,-1);
        }
    }
    printf("%lld",ans>>1);
}