0x01 什么是尺规作图？
一般定义
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。
尺规作图是起源于古希腊的数学课题。
只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：
1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；
2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。
严格定义
仅以“有限次使用无刻度的直尺和圆规作图”这样的措辞作为定义显然是不够严密的，因为不限定每“次”以内的操作复杂度的话，“有限次”就成无意义的了。
因此，一般采用的定义是基于“作图公法”的定义，即：
1. 每次的操作只能是公认允许的五项基本操作（称为五项作图公法）之一；
2. 每次操作之前，操作者为决定是否操作和进行哪种操作可以进行的逻辑判断，也只能是几何学中公认允许的几种。
基于“作图公法”的定义如下：
承认以下五项前提，有限次运用以下五项公法而完成的作图方法，就是合法的尺规作图：
五项前提：
1、允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点（所谓“确定范围”，依下面四条的规则）；
2、可以判断同一直线上不同点的位置次序；
3、可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序；
4、可以判断平面上一点在直线的哪一侧；
5、可以判断平面上一点在圆的内部还是外部。
五项公法：
1、根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线；
2、以一个已经确定的点为圆心，以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆；
3、确定两个已经做出的相交直线的交点；
4、确定已经做出的相交的圆和直线的交点；
5、确定已经做出的相交的两个圆的交点。
也有些资料上给出的五项公法的后两条中的“交点”改为“公共点”。这两种叙述差别在于后者多包括了“切点”。但是，因为确定切点即使不算基本操作，也是可以用其它基本操作组合实现的，所以，两种叙述的定义并无本质不同。
0x02 回顾初中课堂的知识
1、尺规可以做等角；
2、尺规可以做角平分线；
3、尺规可以做中点；
4、尺规可以做过一点的垂线，可以做过一点的平行线；
5、尺规可以做过三点的圆。
还有很多，但后文用到的都先放在这里。
0x03 尺规能做什么？
“尺规作图”，不只是做个图。人们对尺规作图的研究，实质上，可以说是对代数的研究。
任何作图问题，最后可以归结为作点；而作点，大多数可以归结为作实数。
和与差
每个线段长度是一个实数。这里我们假设“给定一个实数”意味着“给定一个线段，它的长度是给定的实数。
因此给定两个实数可以用尺规做出和与差。
乘积
给定两个实数能否用尺规做出乘积（能否做出以乘积为长度的线段）？答案是不能，还需要给定单位长，也就是1。这个原因也很简单，如果不给1，两个线段的长度的比值是确定的，但是各自的数值并不确定。
给定两个线段和1以后，就可以做出以其为乘积的线段了：
图中设AC、BC是给定的两个线段，1给定。过C任作一直线，直线上取E使得CE=1。做以ABE三点确定的圆（1.5），延长EC交此圆于D，CD即为以AC*BC为长度的线段。
除法
设给定线段长度为a和b，想要做出a/b，由于乘积的做法已经给出，所以只需要考虑1/b的做法。同理需要给定1。做法如下：
其中AC=BC=1，过C任作直线，取直线上一点D使得CD=b，做ABD三点确定的圆，延长DC交此圆于E，CE即为以1/b为长度的线段。
乘方与开方
有了乘积和除法，就有了整数幂的乘方（包括正整数幂和负整数幂，当然，和零次幂）。
接下来是开方。设有实数a，当然给定1，如下可以做出长度为的线段：
如图，设AC=a，延长AC，直线AC上取B使得BC=1。取AB中点O，作以AB为直径的圆。过C做AB的垂线（1.4），交此圆于D。CD即为以为长度的线段。
结论
综上，从1和实数a、b出发，可以用尺规做出他们的和、差、积、商、以及开方。
用现代的代数观点来说，任何可以用有限次加减乘除和开方算出的实数，都可以用尺规作图做出。（当然，此处的作出，指的是作出以该实数为长度的线段。）
举个例子：
作线段中点，其实是已知1，作1/2；
作角分线，其实本质是作线段中点；
作三等分点、五等分点等等亦然；
作正五边形、正十七边形等，本质上是作一个角，而作角，用余弦定理略作处理，其实就是在作一个实数（就是说等腰三角形顶角为要做的角，两个等腰边为1，只要作出底边边长的实数就可以了）。
正因如此，很多尺规作图的问题，都可以解决了。
用有限次的加减乘除开方的数在实际应用中还是比较普遍的，所以大部分实际问题，尺规还是有施展的空间的。
比如：
作角分线、作正三角形、作正五边形、作正八边形、作正十七边形等等。
尺规，只能做这些么？
是的，只能做这些了。
经过后人们的证明，尺规的能力，仅限于做出有限次的加减乘除开方的实数，或者对已知实数进行有限次加减乘除开方的运算。
0x04 尺规作图不能做什么？
世界三大尺规作图难题（应该说是尺规不可作图题）：
1、三等分角问题：给定一个任意角，如何用尺规将其三等分？
2、倍立方问题：给定一个正方体，如何做出其二倍体积的正方体？
3、圆化方问题：给定一个圆，如何做出与其面积相等的正方形？
可以看到，三个问题本质上都是“做一个实数”。圆化方，要用1作出π；倍立方，要作出；而三等分角，则是用1和a，作出 4-3x+a=0的根（这个需要一点计算，此处从略了）。问题演变成了如何用有限次加减乘除和开方作出这三个数。
那么到底可以么？当时的代数发展有限，大家还不能回答这个问题。
经过了很久的研究，大家才逐一的证明出这三个问题的不可作：
1、一般的三次方程的根不能用二次根式表示；
2、π是超越数，不是任何整系数有限次方程的根。
这样才彻底解决了三个难题。
有兴趣可以参考：
※以上内容整理自多个来源※