Codeforces 980 E. The Number Games

\(>Codeforces \space 980 E. The Number Games<\)

题目大意 : 有一棵点数为 \(n\) 的数，第 \(i\) 个点的点权是 \(2^i\) 你需要删掉 \(k\) 个点，使得删掉这些点后树依然联通，且剩下的点权之和最大，并输出方案

\(n , k \leq 10^6\)

解题思路 :

问题可以转化为选取 \(n - k\) 个点，使得选取的点联通且权值和最大

根据点权是 \(2^i\) 的性质，显然有选取编号为 \(x\) 的点比选取 \(i = [1, x)\) 之间的所有点还要优

首先 \(n\) 一定要保留，于是可以将 \(n\) 设置为 \(root\) 把无根树变成有根树来简化问题

接下来不妨贪心的从大到小保留点，因为点权都是 \(2^i\) 所以一个点如果能选取就必然会被选取

考虑如果要选取一个点必然要选取他的所有祖先，所以一个点能否被选取取决于其到 \(root\) 的

路径上没有被选取的点的个数

所以对于一个点 \(x\) 只需要倍增找到其到 \(root\) 路径上最深的已经被选取的点 \(y\)

那么路径上没有被选取的点的个数就是 \(dep_x - dep_y\)，如果可以选取就暴力选取这些点

因为每个点只会被最多选取一次，所以复杂度得以保证，总复杂度是 \(O(nlogn)\)

/*program by mangoyang*/
#include<bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define N (1000005)
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
    int f = 0, ch = 0; x = 0;
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
    if(f) x = -x;
}
vector<int> g[N];
int f[N][24], dep[N], ff[N], n, k;
inline void dfs(int u, int fa){
    dep[u] = dep[fa] + 1, f[u][0] = fa;
    for(int i = 0; i < g[u].size(); i++){
        int v = g[u][i];
        if(v != fa) dfs(v, u);
    }
}
inline int get(int x){
    for(int i = 22; i >= 0; i--)
        if(!ff[f[x][i]] && f[x][i]) x = f[x][i];
    return x;
}
int main(){
    read(n), read(k), k = n - k;
    for(int i = 1, x, y; i < n; i++){
        read(x), read(y);
        g[x].push_back(y), g[y].push_back(x);
    }
    dfs(n, 0);
    for(int j = 1; j <= 22; j++)
        for(int i = 1; i <= n; i++) 
            f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];
    for(int i = n; i >= 1; i--) if(!ff[i]){
        int u = i, ls = get(u);
        if(dep[u] - dep[ls] + 1 <= k)
            k -= dep[u] - dep[ls] + 1; else continue;
        for(int s = u; s != ls; s = f[s][0]) ff[s] = 1;
        ff[ls] = 1;
        if(!k) break;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        if(!ff[i]) printf("%d ", i);
    return 0;
}