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堆排序
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏、最好、平均时间复杂度均为O(nlogn)，是不稳定排序。堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
堆排序基本思想及步骤
堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。
步骤一：构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
a.假设给定无序序列结构如下：
b.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。
c.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。
步骤二：将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
b.重新调整结构，使其继续满足堆定义
c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序
下面是堆排序的Java代码实现以及测试示例：
import java.util.Arrays;
public class Test1 {
//将array看成完全二叉树的顺序存储结构，建立大顶堆
private int[] buildMaxHeap(int[] array){//从最后一个节点array.length-1的父节点开始一直到根节点，反复调整堆
for(int i=(array.length-2)/2;i>=0;i--){
changeDownToUp(array, i,array.length);
}
return array;
}
//将元素array[k]自下往上逐步调整树形结构
private void changeDownToUp(int[] array,int k,int length){
int temp = array[k];
for(int i=2*k+1;i<=length-1;i=2*i+1){
if(i+1<length && array[i]<array[i+1]){ //有右孩子且左孩子<右孩子
i++; //如果节点的右孩子>左孩子，则取右孩子节点的下标
}
if(temp>=array[i]){ //节点>=左右孩子中关键字较大者，调整结束
break;
}else{ //根节点 <左右子女中关键字较大者
array[k] = array[i]; //将左右子结点中较大值array[i]调整到双亲节点上
k = i; //修改k值，继续向下调整
}
}
array[k] = temp; //被调整的结点的值放在最终合适的位置
}
//堆排序
public int[] heapSort(int[] array){
array = buildMaxHeap(array); //初始建堆，array[0]为堆中最大的元素
for(int i=array.length-1;i>=1;i--){
int temp = array[0]; //堆顶元素和堆底元素交换，得到当前最大元素正确的排序位置
array[0] = array[i];
array[i] = temp;
changeDownToUp(array, 0,i); //将剩余的元素整理成大顶堆
}
return array;
}
public static void main(String args[]){
Test1 heapTest = new Test1();
int[] array = {82,39,68,25,16,61,59,7,116,43};
System.out.println("堆排序前:");
System.out.println(Arrays.toString(array));
System.out.println("堆排序后:");
System.out.println(Arrays.toString(heapTest.heapSort(array)));
}
}测试结果如下：
